На главную

Теорема Тихонова

Теоре́ма Ти́хонова, теорема о компактности произведения компактных пространств. Более точно, теорема Тихонова гласит: если – семейство компактных топологических пространств, то топологическое произведение является компактным пространством. Теорема Тихонова является одним из фундаментальных утверждений общей топологии. Часто теорему Тихонова формулируют в равносильной форме критерия компактности произведения непустых компактных пространств: топологическое произведение , где при всех , является компактным пространством в том и только в том случае, если компактны все пространства .

Теорема Тихонова в аксиоматической теории множеств

В системе аксиом теории множеств (Цермело – Френкеля) теорема Тихонова эквивалентна аксиоме выбора; более того, аксиома выбора следует даже из теоремы Тихонова для -пространств, т. е. из утверждения «топологическое произведение компактных -пространств является компактным пространством». Вместе с тем теорема Тихонова для хаусдорфовых пространств (т. е. утверждение «топологическое произведение хаусдорфовых компактных пространств является компактным пространством») эквивалентна теореме об ультрафильтре – утверждению, более слабому, чем аксиома выбора.

Исторические и библиографические сведения

Теорема Тихонова названа в честь А. Н. Тихонова, который определил произведение топологических пространств и доказал компактность тихоновского куба, т. е. теорему Тихонова в частном случае топологического произведения отрезков вещественной прямой (результаты объявлены в: Tychonoff. 1926[1]; рус. пер.: Тихонов. 2009[2]. Об абстрактных пространствах, доказательства опубликованы в: Tychonoff. 1930[3]; рус. пер.: Тихонов. 2009[4]. О топологическом расширении пространств). Оригинальное доказательство Тихонова практически дословно переносится на случай произведения произвольных компактных пространств, но этот факт – т. е. теорема Тихонова в полной общности – был явно отмечен Тихоновым лишь в 1935 г. (Tychonoff. 1935[5]; рус. пер.: Тихонов. 2009[6]. Теорема о неподвижной точке). Доказательство Тихонова было достаточно сложным и опиралось на следующий критерий компактности П. С. Александрова – П. С. Урысона: топологическое пространство компактно в том и только в том случае, если любое его бесконечное подмножество имеет точку полного накопления. Дж. Александер и Л. Зиппин в 1935 г. опубликовали доказательство теоремы Тихонова, опирающееся на этот же критерий (Alexander. 1935[7]); другой вариант доказательства, также опирающегося на критерий Александрова – Урысона, дал Э. Чех (Čech. 1937[8]).

В 1939 г. Дж. Александер дал простое доказательство теоремы Тихонова, основанное на лемме, названной позже его именем (Alexander. 1939[9]). Дж. Тьюки (Tukey. 1940[10]) представил доказательство теоремы Тихонова, используя введённые им понятия фаланги и ультрафаланги (которые по существу представляют собой специальные классы направленностей).

Доказательство теоремы Тихонова, основанное на свойствах сходимости ультрафильтров, появилось в трактате «Элементы математики» Н. Бурбаки (Bourbaki. 1940[11]; рус. пер. с 3-го французского издания: Бурбаки. 1968[12]); практически одновременно с ним было опубликовано доказательство К. Шевалле и О. Фринка (Chevalley. 1941[13]), которое, хотя и не использовало в явном виде свойства сходимости ультрафильтров, являлось весьма близким к доказательству из трактата Бурбаки (доказательство Шевалле – Фринка воспроизведено, например, в книгах: Энгелькинг. 1986[14] и Александров. 2010[15]). Вопреки иногда встречающемуся в научной литературе утверждению, фундаментальные статьи А. Картана, в которых он ввёл понятие фильтра (Cartan. Théorie des filtres. 1937[16]; Cartan. Filtres et ultrafiltres. 1937[17]), не содержат доказательства теоремы Тихонова.

Доказательства Александера и Бурбаки (Шевалле – Фринка) в настоящее время являются стандартными доказательствами теоремы Тихонова, принятыми в учебной литературе.

Эквивалентность теоремы Тихонова и аксиомы выбора доказал Дж. Келли (Kelley. 1950[18]).

Примечания

  1. ↑ Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 182 / Académie des sciences. – Paris : Gauthier-Villars, 1926.
  2. ↑ Тихонов А. Н. Собрание научных трудов = Collection of scientific works. В 10 т.. Т. 1 / А. Н. Тихонов. – Москва : Наука, 2009. – (Классики науки).
  3. ↑ Tychonoff A. Über die topologische Erweiterung von Räumen / A. Tychonoff // Mathematische Annalen. – 1930. – Bd. 102. – S. 544–561.
  4. ↑ Тихонов А. Н. Собрание научных трудов = Collection of scientific works. В 10 т.. Т. 1 / А. Н. Тихонов. – Москва : Наука, 2009. – (Классики науки).
  5. ↑ Tychonoff A. Ein Fixpunktsatz / A. Tychonoff // Mathematische Annalen. – 1935. – Bd. 111. – S. 767–776.
  6. ↑ Тихонов А. Н. Собрание научных трудов = Collection of scientific works. В 10 т.. Т. 1 / А. Н. Тихонов. – Москва : Наука, 2009. – (Классики науки).
  7. ↑ Alexander J. W. Discrete abelian groups and their character groups / J. W. Alexander, L. Zippin // Annals of Mathematics. – 1935. – Vol. 36, № 1. – P. 71–85.
  8. ↑ Čech E. On Bicompact Spaces / Eduard Čech // Annals of Mathematics. – 1937. – Vol. 38, № 4. – P. 823–844.
  9. ↑ Alexander J. W. Ordered Sets, Complexes and the Problem of Compactification / J. W. Alexander // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 1939. – Vol. 25, № 6. – P. 296–298.
  10. ↑ Tukey J. W. Convergence and Uniformity in Topology / John W. Tukey. – Princeton : Princeton University Press, 1940. – (Annals of Mathematics Studies ; 2).
  11. ↑ Bourbaki N. Éléments de mathématique. Pt. 1, Livre 3. Topologie générale. Chap. 1–2 / N. Bourbaki. – Paris : Hermann, 1940. – (Actualités scientifiques et industrielles ; 858).
  12. ↑ Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Н. Бурбаки ; пер. с фр. С. Н. Крачковского ; под ред. Д. А. Райкова. – Москва : Наука, 1968. – (Элементы математики).
  13. ↑ Chevalley C. Bicompactness of Cartesian products / C. Chevalley, O. Frink jr. // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1941. – Vol. 47. – P. 612–614.
  14. ↑ Энгелькинг Р. Общая топология / Р. Энгелькинг ; пер. с англ. и предисл. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. – Москва : Мир, 1986.
  15. ↑ Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию : учебное пособие / П. С. Александров. – 2-е изд., стер. – Санкт-Петербург [и др.] : Лань, 2010. – (Классическая учебная литература по математике) (Лучшие классические учебники).
  16. ↑ Cartan H. Théorie des filtres / H. Cartan // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. – 1937. – Vol. 205. – P. 595–598.
  17. ↑ Cartan H. Filtres et ultrafiltres / H. Cartan // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. – 1937. – Vol. 205. – P. 777–779.
  18. ↑ Kelley J. L. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice / J. L. Kelley // Fundamenta mathematicae. – 1950. – Vol. 37. – P. 75–76.

Литература

  • Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. – Paris : Gauthier-Villars, 1926. – T. 182.
  • Тихонов А. Н. Собрание научных трудов. В 10 т. – Москва : Наука, 2009. – Т. 1.
  • Tychonoff A. Über die topologische Erweiterung von Räumen // Mathematische Annalen. – 1930. – Bd. 102. – S. 544–561.
  • Тихонов А. Н. Собрание научных трудов. В 10 т. – Москва : Наука, 2009. – Т. 1.
  • Tychonoff A. Ein Fixpunktsatz // Mathematische Annalen. – 1935. – Bd. 111. – S. 767–776.
  • Тихонов А. Н. Собрание научных трудов. В 10 т. – Москва : Наука, 2009. – Т. 1.
  • Alexander J. W. Discrete abelian groups and their character groups / J. W. Alexander, L. Zippin // Annals of Mathematics. – 1935. – Vol. 36, № 1. – P. 71–85.
  • Cartan H. Théorie des filtres // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. – 1937. – Vol. 205. – P. 595–598.
  • Cartan H. Filtres et ultrafiltres // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. – 1937. – Vol. 205. – P. 777–779.
  • Čech E. On Bicompact Spaces // Annals of Mathematics. – 1937. – Vol. 38, № 4. – P. 823–844.
  • Alexander J. W. Ordered Sets, Complexes and the Problem of Compactification // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 1939. – Vol. 25, № 6. – P. 296–298.
  • Tukey J. W. Convergence and Uniformity in Topology. – Princeton : Princeton University Press, 1940. – (Annals of Mathematics Studies ; 2).
  • Bourbaki N. Éléments de mathématique. Pt. 1, Livre 3. Topologie générale. Chap. 1–2. – Paris : Hermann, 1940. – (Actualités scientifiques et industrielles ; 858).
  • Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / пер. с франц. С. Н. Крачковского. – Москва : Наука, 1968.
  • Chevalley C. Bicompactness of Cartesian products / C. Chevalley, O. Frink Jr. // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1941. – Vol. 47. – P. 612–614.
  • Kelley J. L. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice // Fundamenta mathematicae. – 1950. – Vol. 37. – P. 75–76.
  • Келли Дж. Л. Общая топология / пер. с англ. А. В. Архангельского – 2-е изд. – Москва : Наука, 1981.
  • Энгелькинг Р. Общая топология / пер. с англ. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. – Москва : Мир, 1986.
  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – 2-е изд., стер. – Санкт-Петербург [и др.] : Лань, 2010. – (Классическая учебная литература по математике).
Материалы портала bigenc.ru переданы в ведение АНО «Интернет-энциклопедия «РУВИКИ» на основе лицензионного соглашения. Возможны неточности в отображении материалов. Если у вас возникли вопросы или вы увидели ошибку, пожалуйста, сообщите нам на info@ruwiki.ru