Теория решёток

Тео́рия решёток, раздел алгебры, в котором изучаются частично упорядоченные множества. Решёткой (структурой) называется частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры решёток:

1) множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;

2) всякое линейно упорядоченное множество, причём если ${\displaystyle a\leqslant b}$, то ${\displaystyle sup\{a,b\}=b}$, а ${\displaystyle inf\{a,b\}=a}$;

3) множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где ${\displaystyle inf}$ – пересечение, а ${\displaystyle sup}$ – объединение соответствующих подпространств;

4) множество всех действительных функций, определённых на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, упорядоченных условием ${\displaystyle f\leqslant g}$, если ${\displaystyle f(t)\leqslant g(t)}$ для всех ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, здесь

${\displaystyle sup\{f,g\}=u,\,\ \ {\text{гдe}}\,\ \ u(t)=max\{f(t),g(t)\},}$
${\displaystyle inf\{f,g\}=v,\,\ \ {\text{гдe}}\,\ \ v(t)=min\{f(t),g(t)\}}$.

Появление понятия «решётка» относится к середине 19 в. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 гг. Термин lattice, переведённый как «структура», был введён Дж. Биркгофом в 1933 г. Ныне в русскоязычной терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен словом «решётка». Как самостоятельный раздел алгебры эта теория сформировалась в 1930-х гг.