Линейно упорядоченное множество

Лине́йно упоря́доченное мно́жество (цепь), частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ имеет место ${\displaystyle a\leq b}$ или ${\displaystyle b\leq a}$. Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным множеством. Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим). Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств – вполне упорядоченные множества. Среди подмножеств частично упорядоченного множества, являющихся линейно упорядоченным множеством, особенно важную роль играет композиционный ряд. Сечением линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называют разбиение его на два подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ так, что ${\displaystyle A\cup B=P}$, ${\displaystyle A\cap B}$ – пусто, ${\displaystyle A\subseteq B^{\bigtriangledown }}$ и ${\displaystyle B\subseteq A^{\triangle }}$, где

${\displaystyle B^{\bigtriangledown }=\{x\in P}$
${\displaystyle x\leq b,}$
${\displaystyle \forall b\in B\},}$
${\displaystyle A^{\triangle }=\{x\in P}$
${\displaystyle x\geq a,}$
${\displaystyle \forall a\in A\}.}$

Классы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются нижним и верхним классами сечения. Различаются следующие типы сечений: скачок – в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем – наименьший; дедекиндово сечение – в нижнем (верхнем) классе имеется наибольший (наименьший) элемент, но в верхнем (нижнем) классе нет наименьшего (наибольшего); щель – в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем – наименьшего. Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы. Подмножество ${\displaystyle D}$ линейно упорядоченного множества ${\displaystyle P}$ называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества ${\displaystyle P}$ содержит элементы, принадлежащие ${\displaystyle D}$. Линейно упорядоченное множество действительных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество, в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество. Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству линейно упорядоченного множества всех двоичных дробей отрезка ${\displaystyle [0,1]}$. Решётка ${\displaystyle L}$ изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешётка является ретрактом.