Предельный цикл системы дифференциальных уравнений

Преде́льный цикл систе́мы дифференциа́льных уравне́ний 2-го порядка

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=P(x,y),\quad {\frac {dy}{dt}}=Q(x,y),}$

замкнутая траектория в фазовом пространстве ${\displaystyle Oxy}$, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной её окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории при ${\displaystyle {\ce {t->+\infty }}}$ (устойчивый предельный цикл) или при ${\displaystyle {\ce {t->-\infty }}}$ (неустойчивый предельный цикл) или часть из них при ${\displaystyle {\ce {t->+\infty }}}$, а остальные – при ${\displaystyle {\ce {t->-\infty }}}$ (полуустойчивый предельный цикл). Например, система

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=1-r,\quad {\frac {d\phi }{dt}}=1}$

(${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \phi }$ – полярные координаты), общее решение которой ${\displaystyle r=1-(1-r_{0})e^{-t}}$, ${\displaystyle \phi =\phi _{0}+t}$, где ${\displaystyle r_{0}\geqslant 0}$, имеет устойчивый предельный цикл ${\displaystyle r=1}$ (рисунок). Понятие «предельный цикл» переносится и на системы ${\displaystyle n}$-го порядка. С точки зрения механики устойчивый предельный цикл соответствует устойчивому периодическому движению системы. Поэтому поиск предельного цикла имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.