Сепаратриса

Сепаратри́са, термин качественной теории дифференциальных уравнений.

1. Сепаратриса в первоначальном смысле слова – траектория ${\displaystyle \left\{S_{t}p\right\}}$ потока ${\displaystyle \left\{S_{t}\right\}}$ на плоскости, стремящаяся (при ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$ или при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty )}$ к некоторому положению равновесия ${\displaystyle p_{0}}$, причём сколь угодно близко к ней имеются траектории, которые вначале приближаются к ${\displaystyle p_{0}}$, как бы «идя вдоль траектории ${\displaystyle \left\{S_{t}p\right\}}$», а затем отходят от него на некоторое конечное расстояние.

Формально последнее означает существование таких окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle p_{0}}$, последовательности точек ${\displaystyle p_{n}\rightarrow p}$ и последовательностей чисел ${\displaystyle s_{n},t_{n}}$, что ${\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty }$ (соответственно ${\displaystyle s_{n}\rightarrow -\infty }$),

${\displaystyle S_{s_{n}}p_{n}\rightarrow p_{0},\quad S_{t_{n}}p_{n}\notin U,\quad t_{n}>s_{n}\quad \left(t_{n}<s_{n}\right)}$.

Основной пример – сепаратриса невырожденного (или простого) седла. Для последнего под сепаратрисой может пониматься также его устойчивое (соответственно неустойчивое) многообразие, т. е. (в данном случае) линия, включающая седло и обе траектории, стремящиеся к нему при ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$ (соответственно при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$).

Название «сепаратриса» связано с наблюдением, что сепаратрисы наряду с замкнутыми траекториями делят фазовую плоскость на области с одинаковым поведением траекторий. Это наблюдение может быть строго формализовано (^[1]; ^[2]). Сепаратрисы могут входить в состав предельных множеств траекторий. Так, траектория может навиваться на «петлю сепаратрисы» – замкнутую кривую, образованную траекторией, стремящейся к одному и тому же седлу как при ${\displaystyle t\rightarrow -\infty }$, так и при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, или на «сепаратрисный контур (цикл)» – замкнутую кривую, состоящую из нескольких сепаратрис, соединяющих сёдла. При малом возмущении из петли сепаратрисы может возникнуть предельный цикл; это один из основных типов бифуркаций для потоков на плоскости (^[3]; ^[4]).

2. В многомерном случае под сепаратрисами (или сепаратрисными многообразиями) чаще всего понимают устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболического положения равновесия или периодической траектории.

Имеются попытки выделить под названием «сепаратриса» класс траекторий, входящих в множества, которые в некотором смысле «разделяют» траектории с различным поведением. Непосредственное обобщение случая плоскости имело бы ограниченную применимость, поскольку в многомерном случае фазовое пространство, вообще говоря, не разбивается на области, заполненные траекториями с одинаковыми предельными множествами (тогда как на плоскости такая ситуация «типична»). Предложенные формулировки (^[5]) являются довольно сложными, и не приходится ожидать полного описания различных типов сепаратрис и составленных из них множеств.