Индекс особой точки

И́ндекс осо́бой то́чки, одна из основных характеристик изолированной особой точки векторного поля. Пусть векторное поле ${\displaystyle X}$ определено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle Q}$ – сфера малого радиуса, окружающая особую точку ${\displaystyle x_{0}}$, такая, что ${\displaystyle X|_{Q}\neq 0}$. Тогда индексом ${\displaystyle \mathrm {ind} _{x_{0}}(X)}$ особой точки ${\displaystyle x_{0}}$ векторного поля ${\displaystyle X}$ называется степень отображения ${\displaystyle \deg f}$, где

${\displaystyle f:{\frac {X(x)}{|X(x)|}}:Q\to S^{n-1}}$,

т. е.

${\displaystyle \mathrm {ind} _{x_{0}}(X)=\deg f_{x_{0}}}$.

Если ${\displaystyle x_{0}}$ невырождена, то

${\displaystyle \mathrm {ind} _{x_{0}}(X)=\mathrm {sign} \operatorname {det} \left\|{\frac {\partial X^{2}}{\partial x^{i}}}\right\|}$.

Индекс особой точки не зависит от направления поля.