Аксиома выбора

Аксио́ма вы́бора (аксиома Цермело), одна из аксиом аксиоматической теории множеств. Пусть дано множество ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ , элементами которого являются попарно непересекающиеся непустые множества ${\displaystyle M_{\alpha }}$; тогда существует множество ${\displaystyle M}$, каждый элемент которого есть элемент ${\displaystyle m_{\alpha }}$ некоторого множества ${\displaystyle M_{\alpha }}$ и которое пересекается с каждым множеством ${\displaystyle M_{\alpha }}$ лишь по одному элементу ${\displaystyle m_{\alpha }}$. Другими словами, аксиома выбора постулирует существование множества ${\displaystyle M}$, состоящего из элементов ${\displaystyle m_{\alpha }}$, выбранных по одному из каждого множества ${\displaystyle M_{\alpha }\in {\mathfrak {M}}}$. Аксиома выбора была явно сформулирована Э. Цермело (1904) и вызвала многочисленные исследования о фактическом месте, занимаемом ею в логическом построении теории множеств. Это объясняется, в частности, тем, что из аксиомы выбора вытекают следствия, противоречащие интуиции «здравого смысла». Например, из аксиомы выбора вытекает возможность разбиения шара на конечное число частей, из которых движениями в пространстве можно составить два таких же шара.