Лемма Александера о предбазе

Ле́мма Алекса́ндера о предба́зе (теорема Александера о предбазе), критерий компактности топологического пространства в терминах его предбазы. Пусть ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство и ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ – некоторая его предбаза (то есть такое семейство ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ его открытых подмножеств, что всевозможные конечные пересечения элементов семейства ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ образуют базу топологии на ${\displaystyle X}$). Лемма Александера о предбазе: пространство ${\displaystyle X}$ компактно в том и только том случае, если из каждого покрытия пространства ${\displaystyle X}$ элементами семейства ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ можно выделить конечное подпокрытие.

С помощью леммы Александера можно получить достаточно простое доказательство теоремы Тихонова. В системе Цермело – Френкеля лемма Александера эквивалентна теореме об ультрафильтре.

Лемма Александера может рассматриваться как утверждение о свойствах упорядоченного множества специального вида – а именно семейства всех открытых подмножеств некоторого топологического пространства (рассматриваемого как упорядоченное множество относительно включения). Существуют обобщения леммы Александера, относящиеся к некоторым общим классам упорядоченных множеств.

Лемма Александера названа в честь Дж. Александера, доказавшего её в 1939 г. В оригинальной работе (Alexander. 1939^[1]) лемма была сформулирована в двойственной форме (в терминах центрированных семейств замкнутых множеств) и была использована для доказательства теоремы Тихонова.