Чётные и нечётные функции

Чётные и нечётные фу́нкции, функции, которые сохраняют свои значения или меняют их на противоположные при изменении знака аргумента. Точнее, пусть область определения ${\displaystyle D}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ симметрична относительно нуля, т. е. ${\displaystyle D}$ вместе с каждым числом ${\displaystyle x}$ содержит и число ${\displaystyle -x}$. Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется чётной, если

${\displaystyle f(-x)=f(x),\quad x\in D,}$

и нечётной, если

${\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad x\in D}$.

Например, функции ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, определённые для всех действительных ${\displaystyle x}$, являются чётными при чётных ${\displaystyle n}$ и нечётными при нечётных ${\displaystyle n}$. Любая функция ${\displaystyle f(x)}$, область определения которой симметрична относительно нуля, является суммой функций ${\displaystyle {\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$, первая из которых – чётная, а вторая – нечётная.