Спектральное разложение линейного оператора

Спектра́льное разложе́ние лине́йного опера́тора, представление оператора в виде интеграла по спектральной мере (спектральной функции). Для любого самосопряжённого оператора ${\displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ существует такая спектральная функция ${\displaystyle P(\cdot )}$, что

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }tdP(t)}$.

Это означает, что

${\displaystyle D_{T}=\left\{x\in H:\int _{-\infty }^{+\infty }t^{2}d(P(t)x,x)<\infty \right\},}$
${\displaystyle (Tx,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }td(P(t)x,y)}$

для любых ${\displaystyle x\in D_{T}}$, ${\displaystyle y\in H}$. Спектральная функция самосопряжённого оператора ${\displaystyle T}$ может быть вычислена через его резольвенту ${\displaystyle R(\lambda ,T)}$ по формуле

${\displaystyle P(b)-P(a)=\lim _{\delta \rightarrow 0}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a+\delta }^{b-\delta }(R(\lambda -i\varepsilon ,T)-R(\lambda +i\varepsilon ,T))d\lambda }$.

Из теоремы о спектральном разложении самосопряжённого оператора следует возможность реализации самосопряжённых операторов операторами умножения и существование функционального исчисления на борелевских функциях.

Используя спектральное разложение самосопряжённого оператора и теорию расширений с выходом из пространства (^[1]), можно получить интегральное представление симметрического оператора через обобщённую спектральную функцию. Аналогично строится интегральное представление изометрических операторов. При этом аналогия между спектральными разложениями самосопряжённых и унитарных операторов, с одной стороны, и интегральными представлениями симметрических и изометрических – с другой, далеко не полная (отсутствие единственности обобщённых спектральных функций, отсутствие сильной сходимости интегралов, сравнительная узость функционального исчисления и т. п.).

Для любого ограниченного нормального оператора ${\displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ существует такая счётно-аддитивная в сильной операторной топологии самосопряжённая спектральная мера ${\displaystyle E(\cdot )}$ на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре борелевских подмножеств комплексной плоскости, что

${\displaystyle T=\int _{\mathbf {C} }zE(dz)}$.

При этом ${\displaystyle \operatorname {supp} E(\cdot )=\sigma (T)}$, ${\displaystyle TE(\alpha )=E(\alpha )T}$, ${\displaystyle \sigma (T\mid E(\alpha )H)\subset {\bar {\alpha }}}$. Эта теорема допускает следующую удобную переформулировку: всякий ограниченный нормальный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на некоторую существенно ограниченную функцию в пространстве ${\displaystyle L^{2}(S,\Sigma ,\mu )}$, причём мера ${\displaystyle \mu }$ может быть выбрана конечной, если пространство сепарабельно.

Из теоремы о спектральном разложении следует существование функционального исчисления от нормального оператора, т. е. гомоморфизма ${\displaystyle f\rightarrow f(T)}$ алгебры существенно ограниченных борелевских функций на ${\displaystyle \sigma (T)}$ в алгебру ограниченных операторов, удовлетворяющего условию ${\displaystyle id(T)=T}$ и переводящего всякую ограниченную поточечно сходящуюся последовательность функций в сильно сходящуюся последовательность операторов. Образ этого гомоморфизма (т. е. множество всех функций от оператора ${\displaystyle T}$) совпадает с множеством всех операторов, перестановочных с каждым оператором, перестановочным с ${\displaystyle T}$. Поскольку из существования функционального исчисления, в свою очередь, следует теорема о спектральном разложении, этот результат можно считать одной из форм спектральной теоремы. Теорема о спектральном разложении обобщается и на неограниченные нормальные операторы (Ахиезер. 1966).

Спектральная мера в случае спектрального разложения унитарного оператора – частного случая нормального оператора – может быть задана на единичной окружности. Спектральное разложение унитарного оператора ${\displaystyle U}$ иногда записывается в виде

${\displaystyle U=\int _{0}^{2\pi }e^{i\theta }dE(\theta )}$,

где ${\displaystyle E(\cdot )}$ – спектральная функция, сосредоточенная на отрезке ${\displaystyle [0,2\pi ]}$. Таким образом, спектральное разложение даёт возможность представить унитарный оператор в виде ${\displaystyle \exp iA}$, где ${\displaystyle A}$ – самосопряжённый оператор. Этот результат обобщает теорема Стоуна: всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде

${\displaystyle U(t)=\exp itA}$,

где ${\displaystyle A}$ – самосопряжённый (возможно, неограниченный) оператор.