Изометрический оператор

Изометри́ческий опера́тор, отображение ${\displaystyle U}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho _{X})}$ в метрическое пространство ${\displaystyle (Y,\rho _{Y})}$ такое, что

${\displaystyle \rho _{X}(x_{1},x_{2})=\rho _{Y}(Ux_{1},Ux_{2})}$

для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – действительные линейные нормированные пространства, ${\displaystyle U(X)=Y}$ и ${\displaystyle U(0)=0}$, то ${\displaystyle U}$ – линейный оператор.

Изометрический оператор ${\displaystyle U}$ отображает ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle U(X)}$ взаимно однозначно, так что существует обратный оператор ${\displaystyle U^{-1}}$, также являющийся изометрическим оператором. Оператор, сопряжённый с линейным изометрическим оператором, действующим из одного линейного нормированного пространства в другое, также будет изометрическим. Линейный изометрический оператор, отображающий ${\displaystyle X}$ на всё ${\displaystyle Y}$, называется унитарным оператором. Условием унитарности линейного оператора, действующего в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, является равенство ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$. Спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности, и имеет место представление

${\displaystyle U=\int _{0}^{2\pi }e^{i\varphi }dE_{\varphi }}$,

где ${\displaystyle \left\{E_{\varphi }\right\}}$ – соответствующее разложение единицы. Изометрический оператор, определённый на подпространстве гильбертова пространства со значениями в таком же пространстве, может быть продолжен до унитарного, если ортогональные дополнения области его определения и области его значений имеют одинаковую размерность.

Каждому симметрическому оператору ${\displaystyle A}$ с областью определения ${\displaystyle D_{A}\subset H}$ соответствует изометрический оператор

${\displaystyle U_{A}=(A-iI)(A+iI)^{-1}}$,

называемый преобразованием Кэли оператора ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle A}$ – самосопряжённый оператор, то оператор ${\displaystyle U_{A}}$ унитарен.

Операторы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с общей областью определения ${\displaystyle D}$ называются метрически равными, если ${\displaystyle B=UA}$, где ${\displaystyle U}$ – изометрический оператор, т. е. если${\displaystyle }$
${\displaystyle midBx}$
${\displaystyle mid=}$
${\displaystyle midAx}$
${\displaystyle mid}$ для всех ${\displaystyle x\in D}$. Такие операторы обладают рядом общих свойств. Для любого ограниченного линейного оператора ${\displaystyle A}$, действующего в гильбертовом пространстве, существует один и только один положительный метрически равный ему оператор, определяемый равенством ${\displaystyle B={\sqrt {A^{*}A}}}$.