Спектральная функция

Спектра́льная фу́нкция, разложение единицы, монотонное непрерывное слева в сильной операторной топологии отображение ${\displaystyle P(\cdot )}$ действительной прямой во множество ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве, удовлетворяющее условиям

${\displaystyle {\ce {\lim _{t->-\infty }P(t)=0,\quad \lim _{t->+\infty }P(t)=I}}}$.

Всякая самосопряжённая (т. е. принимающая самосопряжённые значения) сильно счётно-аддитивная борелевская спектральная мера ${\displaystyle E(\cdot )}$ на прямой определяет спектральную функцию по формуле ${\displaystyle P(t)=E(-\infty ,t)}$, и для всякой спектральной функции существует единственная определяющая её спектральная мера.

Понятие спектральной функции является основным в спектральной теории самосопряжённых операторов: по теореме о спектральном разложении, всякий такой оператор имеет интегральное представление ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t\,dP(t)}$, где ${\displaystyle P(t)}$ – некоторая спектральная функция. Аналогичную роль в теории симметрических операторов играет понятие обобщённой спектральной функции – так называется отображение действительной прямой во множество неотрицательных операторов, удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на спектральные функции, за исключением проекторнозначности. Всякая обобщённая спектральная функция может быть продолжена в более широком пространстве (теорема Наймарка).