Совершенное отображение

Соверше́нное отображе́ние, замкнутое непрерывное отображение топологических пространств с компактными прообразами точек. Более подробно, непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется совершенным, если оно замкнуто и для каждого ${\displaystyle y\in Y}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ является компактным подпространством пространства ${\displaystyle X}$.

Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ совершенно в том и только том случае, если для каждого топологического пространства ${\displaystyle Z}$ отображение ${\displaystyle f\times \mathrm {id} _{Z}}$ замкнуто. (Здесь отображение ${\displaystyle f\times \mathrm {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z}$ – декартово произведение отображения ${\displaystyle f}$ и тождественного отображения ${\displaystyle \mathrm {id} _{Z}}$ пространства ${\displaystyle Z}$; оно ставит в соответствие каждой точке ${\displaystyle (x,z)\in X\times Z}$ точку ${\displaystyle (f(x),z)\in Y\times Z}$.)

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ – отображения топологических пространств. Тогда а) если отображения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ совершенны, то композиция ${\displaystyle g\circ f}$ – совершенное отображение; б) если композиция ${\displaystyle g\circ f}$ – совершенное отображение, а отображение ${\displaystyle f}$ замкнуто и сюръективно, то отображение ${\displaystyle g}$ совершенно.

Ограничение совершенного отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ на замкнутое подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ является совершенным отображением. Если ограничение непрерывного отделимого отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ на некоторое подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ совершенно, то множество ${\displaystyle A}$ замкнуто. [Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется отделимым, или хаусдорфовым, если любые две различные точки ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ такие, что ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$, имеют непересекающиеся окрестности. В частности, непрерывные отображения хаусдорфовых пространств отделимы.]

Прообраз ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ любого компактного множества ${\displaystyle K\subset Y}$ при совершенном отображении ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ компактен; в случае когда ${\displaystyle Y}$ является k-пространством, верно и обратное утверждение: если хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$ есть k-пространство и прообраз ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ каждого компактного множества ${\displaystyle K\subset Y}$ при непрерывном отображении ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ компактен, то отображение ${\displaystyle f}$ совершенно.

Важнейшим свойством класса совершенных отображений является его мультипликативность. Более подробно, пусть задано семейство совершенных отображений ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$, где ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to Y_{s}}$ для каждого ${\displaystyle s\in S}$; тогда декартово произведение этих отображений (т. е. отображение ${\displaystyle f\colon \prod \limits _{s\in S}X_{s}\to \prod \limits _{s\in S}Y_{s}}$, ставящее в соответствие каждой точке ${\displaystyle x=\{x_{s}\}_{s\in S}}$ точку ${\displaystyle y=\{f_{s}(x_{s})\}_{s\in S}}$) является совершенным.

Совершенные отображения тихоновских пространств могут быть охарактеризованы как «полные» в следующем смысле: непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, где ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – тихоновские пространства, совершенно в том и только том случае, если его нельзя непрерывно продолжить ни на какое хаусдорфово пространство ${\displaystyle Z}$, содержащее ${\displaystyle X}$ в качестве всюду плотного собственного подмножества.

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – непрерывное отображение, ${\displaystyle y\in Y}$ – некоторая точка и ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$ обозначает семейство всех открытых окрестностей точки ${\displaystyle y}$. Следующие условия эквивалентны:

(i) отображение ${\displaystyle f}$ замкнуто в точке ${\displaystyle y}$, и множество ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ компактно;

(ii) для каждого покрытия ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ множества ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ открытыми в ${\displaystyle X}$ множествами найдутся такие ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots U_{n}\in {\mathcal {U}}}$ и ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$, что ${\displaystyle f^{-1}(V)\subset U_{1}\cup U_{2}\cup \ldots \cup U_{n}}$;

(iii) для каждого непустого семейства ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнутых в ${\displaystyle X}$ множеств, такого, что ${\displaystyle F_{1}\cap F_{2}\cap \ldots \cap F_{n}\cap f^{-1}(V)\neq \varnothing }$ для любых ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$, найдётся точка ${\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {F}}\cap f^{-1}(y)}$;

(iv) любой фильтр ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в множестве ${\displaystyle X}$, содержащий все множества вида ${\displaystyle f^{-1}(V)}$, где ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$, имеет предельную точку, принадлежащую множеству ${\displaystyle f^{-1}(y)}$;

(v) любой ультрафильтр ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в множестве ${\displaystyle X}$, содержащий все множества вида ${\displaystyle f^{-1}(V)}$, где ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(y)}$, имеет предел, принадлежащий множеству ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.

Говорят, что непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ совершенно в точке ${\displaystyle y\in Y}$, если оно удовлетворяет любому из эквивалентных условий (i)–(v). Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ совершенно в том и только том случае, если оно совершенно в каждой точке ${\displaystyle y\in Y}$.

Совершенные отображения составляют важнейший класс непрерывных отображений топологических пространств. Они играют среди всех непрерывных отображений роль, сходную с ролью компактных пространств среди всех топологических пространств; этому утверждению можно придать точный теоретико-категорный смысл (см., например, Clementino. 1996).