Симметрирование

Симметри́рование (симметризация), одна из операций тензорной алгебры, при помощи которой по данному тензору строится симметричный (по группе индексов) тензор. Симметрирование всегда производится над несколькими верхними или нижними индексами. Тензор ${\displaystyle S}$ с координатами ${\displaystyle \left\{s_{j_{i}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}},\,1\leqslant i_{\nu },\,j_{\mu }\leqslant n\right\}}$ является результатом симметрирования тензора ${\displaystyle T}$ с координатами ${\displaystyle \left\{t_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}},\,1\leqslant i_{\nu },\,j_{\mu }\leqslant n\right\}}$ по ${\displaystyle m}$ верхним индексам, например по группе индексов ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{m})}$, если

${\displaystyle s_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}=\{{\frac {1}{m!}}\}\sum _{I\rightarrow \alpha }t_{j_{1}\dots j_{q}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{m}i_{m+1}\dots i_{p}}}$ (*).

Здесь суммирование производится по всем ${\displaystyle m!}$ перестановкам ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m})}$ группы индексов ${\displaystyle I}$. Симметрирование по группе нижних индексов определяется аналогично. Симметрирование по группе индексов обозначается взятием этих индексов в круглые скобки ${\displaystyle (\ )}$. Посторонние индексы (не участвующие в симметрировании) отделяются вертикальными чёрточками. Например,

${\displaystyle t^{(4\mid 5\mid 17)}=\{{\frac {1}{3!}}\}[t^{4517}+t^{1574}+t^{7541}+t^{4571}+t^{7514}+t^{1547}]}$.

Последовательное симметрирование по группам индексов ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$, ${\displaystyle I_{1}\subset I_{2}}$, совпадает с симметрированием по группе индексов ${\displaystyle I_{2}}$. Другими словами, если ${\displaystyle s_{j_{1}\dots j_{q}}=t_{(j_{1}\dots (j_{k}\dots j_{l})\dots j_{q})}}$, то ${\displaystyle s_{j_{1}\dots j_{q}}=t_{(j_{1}\dots j_{q})}}$ (внутренние скобки снимаются).

Тензор, не изменяющийся при симметрировании по некоторой группе индексов, называется симметрическим тензором.

Симметрирование по некоторой группе индексов тензора, альтернированного по этой группе, даёт нулевой тензор.

Умножение двух и более тензоров с последующим симметрированием их произведения по всем индексам называется симметрическим умножением. Симметрирование тензоров, наряду с операцией альтернирования, применяется для разложения тензора на тензоры более простого строения. Симметрирование применяется также для образования сумм вида ${\displaystyle (*)}$ с многоиндексными слагаемыми. Например, если элементы матрицы

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\begin{array}{ccc}a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&\ldots &a_{n}^{1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&\ldots &a_{n}^{n}\\\end{array}}\ \right\|\end{aligned}}}$

коммутируют при умножении, то выражение

${\displaystyle n!\,a_{{\vphantom {(}}{\hphantom {(}}1}^{(1}a_{{\vphantom {(}}2}^{{\vphantom {(}}2}\dots a_{{\vphantom {(}}n}^{n)}=n!\,\left(a_{(1}^{{\vphantom {(}}{\hphantom {(}}1}a_{{\vphantom {(}}2}^{{\vphantom {(1{\hphantom {(}}}}2}\dots a_{n)}^{{\vphantom {(}}n}\right)=n!\ a_{(1}^{(1}a_{{\vphantom {(}}2}^{{\vphantom {(}}2}\dots a_{n)}^{n)}}$

называется перманентом матрицы.