Тензорная алгебра

Те́нзорная а́лгебра, 1) раздел тензорного исчисления, в котором изучаются алгебраические операции над тензорами.

2) Тензорная алгебра унитарного модуля ${\displaystyle V}$ над коммутативно-ассоциативным кольцом ${\displaystyle A}$ с единицей – алгебра ${\displaystyle T(V)}$ над ${\displaystyle A}$, модуль которой имеет вид

${\displaystyle T(V)=\oplus _{p=0}^{\infty }Tp,\quad 0(V)=\oplus _{p=0}^{\infty }{\stackrel {p}{\otimes }}V}$,

а умножение определяется при помощи умножения тензоров. Наряду с контравариантной тензорной алгеброй, рассматривают также ковариантную тензорную алгебру

${\displaystyle T\left(V^{*}\right)=\oplus _{p=0}^{\infty }T^{0,p}(V)}$

и смешанную тензорную алгебру

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\oplus _{p,q=0}^{\infty }T^{p,q}(V)}$.

Если модуль ${\displaystyle V}$ свободен и конечно порождён, то ${\displaystyle T\left(V^{*}\right)}$ естественно изоморфна алгебре всех полилинейных форм на ${\displaystyle V}$. Любой гомоморфизм ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle {{\ce {V -> W}}}}$ естественным образом определяет гомоморфизм тензорной алгебры ${\displaystyle {{\ce {T(V) -> T(W)}}}}$.

Тензорная алгебра ${\displaystyle T(V)}$ ассоциативна, но, вообще говоря, не коммутативна. Её единицей является единица кольца ${\displaystyle A=T^{0}(V)}$. Любое ${\displaystyle A}$-линейное отображение модуля ${\displaystyle V}$ в ассоциативную ${\displaystyle A}$-алгебру ${\displaystyle B}$ с единицей единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебр ${\displaystyle {{\ce {T(V) -> B}}}}$, переводящего единицу в единицу. Если ${\displaystyle V}$ – свободный модуль с базисом ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in I}}$, то ${\displaystyle T(V)}$ есть свободная ассоциативная алгебра с системой образующих ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in I}}$.