Ряд Грама – Шарлье

Ряд Гра́ма – Шарлье́, ряд, определяемый выражением

${\displaystyle f_{A}(x)=f(x)+\sum _{k=3}^{n}a_{k}f^{(k)}(x)}$ (1)

или

${\displaystyle f_{B}(x)=\psi (x)\sum _{m=0}^{n}b_{m}g_{m}(x),}$ (2)

где ${\displaystyle x}$ – нормированное значение случайной величины.

Ряд (1) называется рядом Грама – Шарлье типа ${\displaystyle A}$; здесь

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}}$,

${\displaystyle f^{(k)}(x)}$ есть ${\displaystyle k}$-я производная от ${\displaystyle f(x)}$, которую можно представить в виде

${\displaystyle f^{(k)}(x)=(-1)^{k}H_{k}(x)f(x)}$,

где ${\displaystyle H_{k}(x)}$ – многочлены Чебышёва – Эрмита. Производные ${\displaystyle f^{(k)}(x)}$ и многочлены ${\displaystyle H_{k}(x)}$ обладают свойствами ортогональности, благодаря чему коэффициенты ${\displaystyle a_{k}}$ можно определить при помощи основных моментов ${\displaystyle r_{k}}$ данного ряда распределения. Ограничиваясь первыми членами ряда (1), получают

${\displaystyle f_{A}(x)=f(x)+{\frac {r_{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+}$
${\displaystyle +{\frac {r_{4}-3}{4!}}f^{(4)}(x)-{\frac {r_{5}-10r_{3}}{5!}}f^{(3)}(x)+{\frac {r_{6}-15r_{4}+30}{6!}}f^{(6)}(x).}$

Ряд (2) называется рядом Грама – Шарлье типа ${\displaystyle B}$; здесь

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda },\quad x=0,1,2,\ldots }$,

а ${\displaystyle g_{m}(x)}$ – многочлены, аналогичные многочленам ${\displaystyle H_{k}(x)}$. Ограничиваясь первыми членами ряда (2), получают

${\displaystyle f_{B}(x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }\left\{1+{\frac {\mu _{2}-\lambda }{\lambda ^{2}}}\left[{\frac {x^{[2]}}{2}}-\lambda x^{[1]}+{\frac {\lambda ^{2}}{2}}\right]+\right.}$
${\displaystyle \left.+{\frac {\mu _{3}-3\mu _{2}+2\lambda }{\lambda ^{3}}}\left[{\frac {x^{[3]}}{6}}-{\frac {\lambda }{2}}x^{[2]}+{\frac {\lambda ^{2}}{2}}x^{[1]}-{\frac {\lambda ^{3}}{6}}\right]\right\},}$

где ${\displaystyle \mu _{i}}$ – центральные моменты распределения, а ${\displaystyle x^{[i]}==x(x-1)\ldots (x-i+1)}$.

Ряды Грама – Шарлье были получены Й. Грамом (Gram. 1883^[1]) и К. Шарлье (Charlier. 1914^[2]) при исследовании функции вида

${\displaystyle B_{0}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }e^{-itx}\varphi (t)\,dt}$,

принятой для интерполирования между значениями ${\displaystyle B(m)={\frac {n!}{m!(n-m)!}}p^{m}q^{n-m}}$ – общего члена биномиального распределения, где

${\displaystyle \varphi (t)=\left(pe^{it}+q\right)^{n}=\sum _{m=0}^{n}B(m)e^{itm}}$

– характеристическая функция биномиального распределения. Разложение ${\displaystyle \ln \varphi (t)}$ по степеням ${\displaystyle t}$ приводит к рядам Грама – Шарлье типа ${\displaystyle A}$ для ${\displaystyle B_{0}(x)}$, а разложение ${\displaystyle \ln \varphi (t)}$ по степеням ${\displaystyle p}$ приводит к рядам Грама – Шарлье типа ${\displaystyle B}$.