Распределение Уишарта

Распределе́ние Уи́шарта (англ. Wishart distribution), совместное распределение элементов выборочной ковариационной матрицы для многомерного нормального распределения. Используется в эконометрике для получения распределения оценки ковариационной матрицы. Является сопряжённым распределением для обратного распределения Уишарта, которое используется в качестве прайора в байесовской эконометрике (например, в BVAR-моделях).

Распределение Уишарта предложено в работе Дж. Уишарта (Wishart. 1928).

Рассмотрим ковариационную матрицу ${\displaystyle \Sigma }$ размерностью ${\displaystyle \rho \times \rho }$:

${\displaystyle \Sigma =\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\sigma _{1}^{2}\ \ \sigma _{1,2}\ \ \cdots \ \ \sigma _{1,p}\\\sigma _{2,1}\ \ \sigma _{2}^{2}\ \ \cdots \ \ \sigma _{2,p}\end{array}}\\\vdots \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \vdots \end{array}}\\\sigma _{p,1}\ \ \sigma _{p,2}\ \ \cdots \ \ \sigma _{p}^{2}\end{array}}\right)}$.

Матрицы из распределения Уишарта, описывающего оценку ковариационной матрицы ${\displaystyle \Sigma }$, должны удовлетворять следующим условиям:

• матрицы положительно определены (диагональные элементы, которые играют роль дисперсий, больше нуля ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}>0}$; все корреляции находятся в границах от –1 до 1);
• матрицы симметричны (для обеспечения ${\displaystyle \sigma _{i,j}=\sigma _{j,i}}$).

Положим

${\displaystyle {\begin{aligned}Z^{T}Z=\sum _{i=1}^{v_{0}}z_{i}z_{i}^{T},\\z_{i}z_{i}^{T}=\left({\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}z_{i,1}^{2}\,\,z_{i,1}z_{i,2}\,\,\cdots \,\,z_{i,1}z_{i,p}\\z_{i,2}z_{i,1}\,\,\,z_{i,2}^{2}\,\,\cdots \,\,z_{i,2}z_{i,p}\end{array}}\\\vdots \,\,\,\,\,\,\vdots \,\,\,\,\,\ddots \,\,\,\,\,\vdots \end{array}}\\z_{i,p}z_{i,1}\,\,\,z_{i,p}z_{i,2}\,\,\cdots \,\,z_{i,p}^{2}\end{array}}\right)\end{aligned}}}$,

где для всех ${\displaystyle i=1,...,v_{0}\ z_{i}}$ матрицы размерностью ${\displaystyle \rho \times 1}$ независимо одинаково распределены с многомерным нормальным распределением ${\displaystyle MN(0,\Phi _{0})}$, ${\displaystyle \Phi _{0}}$ – положительно определённая симметричная матрица размерностью ${\displaystyle \rho \times \rho }$, ${\displaystyle v_{0}}$ – параметр. Матрица ${\displaystyle Z^{T}Z}$ является положительно определённой и симметричной, при линейной независимости ${\displaystyle z_{i}}$ для всех ${\displaystyle i=1,...,v_{0}}$ и ${\displaystyle v_{0}\geq p}$.

Соответственно, при данной постановке набор матриц ${\displaystyle Z_{1}^{T}Z_{1},...,Z_{N}^{T}Z_{N}}$ является распределением Уишарта ${\displaystyle W(v_{0},\Phi _{0})}$ с параметрами ${\displaystyle v_{0}}$ и ${\displaystyle \Phi _{0}}$, которое обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle E[\Sigma ]=v_{0}\Phi _{0}}$,
• ${\displaystyle E[\Sigma _{i,j}]=v_{0}\Phi _{0_{i,j}}}$ для всех ${\displaystyle i,j=1,...,p}$,
• ${\displaystyle var[\Sigma _{i,j}]=v_{0}(\Phi _{0_{i,j}}^{2}+\Phi _{0_{i,i}}\Phi _{0_{j,j}})}$ для всех ${\displaystyle i,j=1,...,p}$,
• ${\displaystyle cov[\Sigma _{i,j},\Sigma _{k,m}]=v_{0}(\Phi _{0_{i,k}}\Phi _{0_{j,m}}+\Phi _{0_{i,m}}\Phi _{0_{j,k}})}$.

Функция плотности распределения Уишарта имеет вид:

${\displaystyle p(\Sigma )=\left[{\begin{array}{c}2^{v_{0}\rho /2}\pi ^{\rho (\rho -1)/4}\mid \Phi _{0}\mid ^{v_{0}/2}\prod _{j=1}^{\rho }\Gamma ([v_{0}+1-j]/2)\\\end{array}}\right]^{-1}\times \mid \sum \mid ^{(v_{0}-\rho -1)/2}\times \times exp\{-tr(\Phi _{0}^{-1}\Sigma )/2\}}$,

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ – гамма-функция.

В качестве параметра ${\displaystyle \Phi _{0}}$ используется оценка ковариационной матрицы, делённая на первый параметр распределения ${\displaystyle {\frac {1}{v_{0}}}{\widehat {\Sigma }}}$. Параметр ${\displaystyle v_{0}}$ корректирует степень центрирования распределения вокруг ${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}}$. Если ${\displaystyle v_{0}}$ достаточно большой, то распределение сосредоточено вокруг ${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}}$. Если ${\displaystyle v_{0}}$ мал, то распределение более широкое, слабо центрируемое относительно ${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}}$.

При ${\displaystyle \rho =\Phi _{0}=1}$ распределение трансформируется в распределение хи-квадрат с ${\displaystyle v_{0}}$ степенями свободы. При ${\displaystyle \rho =1}$ распределение Уишарта сводится к гамма-распределению.