Полунорма

Полуно́рма, конечная неотрицательная функция ${\displaystyle p}$ на векторном пространстве ${\displaystyle E}$ (над полем действительных или комплексных чисел), подчинённая условиям:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda x)&=\mid \lambda \mid p(x),\\p(x+y)&\leqslant p(x)+p(y)\end{aligned}}}$

для всех ${\displaystyle x,y\in E}$ и скаляров ${\displaystyle \lambda }$. Примером полунормы служит норма; отличие заключается в том, что для полунормы допустимо ${\displaystyle p(x)=0}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$. Если на векторном пространстве задана полунорма ${\displaystyle p}$, а на его подпространстве – линейный функционал ${\displaystyle f}$, подчинённый условию ${\displaystyle \mid f(x)\mid \leqslant p(x)}$, то его можно продолжить на всё пространство с сохранением этого условия (теорема Хана – Банаха). В математическом анализе наиболее употребительны отделимые топологические векторные пространства, базис окрестностей нуля в которых можно составить из выпуклых множеств. Такие пространства называются локально выпуклыми. В этих пространствах базис может быть описан неравенствами ${\displaystyle p(x)<1}$, где ${\displaystyle p}$ – непрерывные полунормы. В то же время в практике математического анализа встречаются и такие топологические векторные пространства (в том числе и с метризуемой топологией), на которых нет нетривиальных непрерывных пространств. Простейший пример такого рода – пространство ${\displaystyle L_{q}(0,1)}$, где ${\displaystyle 0<q<1}$.