Проективное представление

Проекти́вное представле́ние группы ${\displaystyle G}$, гомоморфизм этой группы в группу ${\displaystyle PGL(V)}$ проективных преобразований проективного пространства ${\displaystyle P(V)}$, связанного с векторным пространством ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$.

С каждым проективным представлением ${\displaystyle \varphi }$ группы ${\displaystyle G}$ связано центральное расширение этой группы

${\displaystyle {\ce {1->k^{*}{\stackrel {i}{-}}>E_{\varphi }{\stackrel {p}{-}}>G->1}}}$ (*),

где ${\displaystyle p}$ – естественная проекция группы ${\displaystyle GL(V)}$ на ${\displaystyle PGL(V)}$, ${\displaystyle i}$ – вложение мультипликативной группы поля ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle GL(V)}$ в виде скалярных матриц, a ${\displaystyle E_{\varphi }=p^{-1}(\varphi (G))}$. Каждое сечение ${\displaystyle s}$ проекции ${\displaystyle p}$ над ${\displaystyle \varphi (G)}$ задаёт отображение

${\displaystyle {\ce {\Psi =s\circ \varphi \colon G->GL(V)}}}$,

обладающее свойством

${\displaystyle \Psi (g_{1}g_{2})=c(g_{1},g_{2})\Psi (q_{1})\Psi (q_{2})}$,

где ${\displaystyle c\colon G\times G\to k^{*}}$ – двумерный коцикл на группе ${\displaystyle G}$. Класс когомологий ${\displaystyle h}$ этого коцикла не зависит от выбора сечения ${\displaystyle s}$. Он определяется проективным представлением ${\displaystyle \varphi }$ и определяет класс эквивалентности расширения ${\displaystyle (*)}$. Условие ${\displaystyle h=0}$ необходимо и достаточно для того, чтобы проективное представление ${\displaystyle \varphi }$ получалось факторизацией линейного представления группы ${\displaystyle G}$.

Проективные представления естественным образом возникают при изучении линейных представлений расширений групп. Важнейшие примеры проективных представлений: спинорное представление ортогональной группы и представление Вейля симплектической группы. На проективные представления непосредственно переносятся определения эквивалентности и неприводимости линейных представлений. Классификация неприводимых проективных представлений конечных групп получена И. Шуром (1904).

Проективное представление называется унитарным, если пространство ${\displaystyle V}$ гильбертово, а отображение ${\displaystyle \Psi }$ можно выбрать так, чтобы оно принимало значение в группе ${\displaystyle U(V)}$ унитарных операторов в ${\displaystyle V}$. Изучались унитарные неприводимые проективные представления топологических групп (Bargmann. 1947); для связной группы Ли ${\displaystyle G}$ их изучение сводится к изучению унитарных неприводимых представлений односвязной группы Ли ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$, алгебра Ли которой является центральным расширением алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ группы ${\displaystyle G}$ с помощью ${\displaystyle d}$-мерной коммутативной алгебры Ли, где ${\displaystyle d=\dim H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {R} )}$.