Коцикл

Коци́кл, коцепь, аннулируемая кограничным отображением, другими словами, коцепь, обращающаяся в нуль на ограничивающих цепях. Понятие коцикла обобщает понятие замкнутой дифференциальной формы на гладком многообразии, интеграл которой по ограничивающей цепи равен нулю.

В соответствии с различными вариантами понятия коцепи имеются различные варианты понятия коцикла. Например, коцикл в смысле Александрова – Чеха топологического пространства есть коцикл нерва некоторого открытого покрытия его. Лишь одномерные коциклы с неабелевыми коэффициентами требуют отдельного обсуждения. Одномерный коцикл симплициального множества ${\displaystyle K}$ с коэффициентами в неабелевой группе ${\displaystyle G}$ представляет собой такую функцию ${\displaystyle {\ce {\sigma ->f(\sigma )\in G}}}$, определённую на множестве ${\displaystyle K_{1}}$ одномерных симплексов из ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle f\left(\sigma ^{(0)}\right)f\left(\sigma ^{(2)}\right)=f\left(\sigma ^{(1)}\right)}$ для любого двумерного симплекса ${\displaystyle \sigma \in K}$. Два коцикла ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называются когомологичными, если существует такая функция ${\displaystyle {{\ce {h: K_0 -> G}}}}$, что ${\displaystyle f(\tau )h\left(\tau ^{(0)}\right)=h\left(\tau ^{(1)}\right)g(\tau )}$ для любого одномерного симплекса ${\displaystyle \tau \in K}$. Классы когомологии одномерных коциклов образуют пунктированное множество ${\displaystyle H^{\mathbf {1} }(K;G)}$. Аналогично определяются одномерные коциклы и их когомологические классы в смысле Александрова – Чеха с коэффициентами в пучке неабелевых групп. Классы когомологии этих коциклов связаны с расслоениями со структурной группой.