Ортогональная группа

Ортогона́льная гру́ппа, группа всех линейных преобразований ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$, сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle V}$ [т. е. таких линейных преобразований ${\displaystyle \varphi }$, что ${\displaystyle Q(\varphi (v))=Q(v)}$ для любого ${\displaystyle v\in V}$]. Ортогональная группа принадлежит к числу классических групп. Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ${\displaystyle Q}$) преобразованиями ${\displaystyle V}$, a также автоморфизмами формы ${\displaystyle Q}$. Пусть, далее, ${\displaystyle \operatorname {char} k\neq 2}$ (об ортогональной группе над полями характеристики ${\displaystyle 2}$ (Дьёдонне. 1974^[1]; O'Meara. 1963^[2]) и ${\displaystyle f}$ – связанная с ${\displaystyle Q}$ невырожденная симметрическая билинейная форма на ${\displaystyle V}$, определённая формулой

${\displaystyle f(v,u)={\frac {1}{2}}(Q(v+u)-Q(v)-Q(u))}$.

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства ${\displaystyle V}$, которые сохраняют ${\displaystyle f}$, и обозначается через ${\displaystyle O_{n}(k,f)}$ или (когда ясно о каком поле ${\displaystyle k}$ и форме ${\displaystyle f}$ идёт речь) просто через ${\displaystyle O_{n}}$. Если ${\displaystyle B}$ – матрица ${\displaystyle f}$ в каком-либо базисе пространства ${\displaystyle V}$, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц ${\displaystyle A}$ с коэффициентами в ${\displaystyle k}$, что ${\displaystyle A^{\top }BA=B}$(${\displaystyle {}^{\top }}$ – транспонирование).

Описание алгебраического строения ортогональных групп составляет предмет классических исследований. Определитель любого элемента из ${\displaystyle O_{n}}$ равен ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$. Элементы с определителем ${\displaystyle 1}$ называются вращениями; они образуют в ортогональной группе нормальный делитель ${\displaystyle O_{n}^{+}(k,f)}$ (или просто ${\displaystyle O_{n}^{+}}$) индекса ${\displaystyle 2}$, называемый группой вращений. Элементы из ${\displaystyle O_{n}-O_{n}^{+}}$ называются переворачиваниями. Всякое вращение (переворачивание) является произведением чётного (нечётного) числа отражений из ${\displaystyle O_{n}}$.

Пусть ${\displaystyle Z_{n}}$ – группа всех гомотетий ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:v\mapsto \alpha v}$, ${\displaystyle \alpha \in k,\alpha \neq 0}$, пространства ${\displaystyle V}$. Тогда ${\displaystyle O_{n}\cap Z_{n}}$ – это центр ${\displaystyle O_{n}}$; он состоит из двух элементов: ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{-1}}$. Если ${\displaystyle n}$ нечётно, то ${\displaystyle O_{n}}$ является прямым произведением своего центра и ${\displaystyle O_{n}^{+}}$. Центр ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ тривиален, если ${\displaystyle n}$ нечётно, и совпадает с центром ${\displaystyle O_{n}}$, если ${\displaystyle n}$ чётно. Если же ${\displaystyle n=2}$, то группа ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ коммутативна и изоморфна либо мультипликативной группе ${\displaystyle k^{*}}$ поля ${\displaystyle k}$ (в случае, когда индекс Витта ${\displaystyle \nu }$ формы ${\displaystyle f}$ равен ${\displaystyle 1}$), либо группе элементов с нормой ${\displaystyle 1}$ в поле ${\displaystyle k({\sqrt {-\Delta }})}$, где ${\displaystyle \Delta }$ – дискриминант формы ${\displaystyle f}$ (в случае, когда ${\displaystyle \nu =0}$). Коммутант группы ${\displaystyle O_{n}(k,f)}$ обозначается через ${\displaystyle \Omega _{n}(k,f)}$ или просто ${\displaystyle \Omega _{n}}$; он порождается квадратами элементов из ${\displaystyle O_{n}}$. При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ коммутант группы ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ совпадает с ${\displaystyle \Omega _{n}}$. Центр группы ${\displaystyle \Omega _{n}}$ имеет вид ${\displaystyle \Omega _{n}\cap Z_{n}}$.

Классическими группами, связанными с ортогональными группами, являются также канонические образы ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ и ${\displaystyle \Omega _{n}}$ в проективной группе; они обозначаются ${\displaystyle PO_{n}^{+}(k,f)}$ и ${\displaystyle P\Omega _{n}(k,f)}$ (или просто ${\displaystyle PO_{n}^{+}}$и ${\displaystyle \left.P\Omega _{n}\right)}$ и изоморфны соответственно ${\displaystyle O_{n}^{+}/\left(O_{n}^{+}\cap Z_{n}\right)}$ и ${\displaystyle \Omega _{n}/\left(\Omega _{n}\cap Z_{n}\right)}$.

Основные классические факты об алгебраической структуре ортогональной группы относятся к описанию последовательных факторов следующего ряда нормальных делителей в ортогональной группе

${\displaystyle O_{n}\supset O_{n}^{+}\supset \Omega _{n}\supset \Omega _{n}\cap Z_{n}\supset \{e\}{\text{. }}}$

Группа ${\displaystyle O_{n}/O_{n}^{+}}$ имеет порядок ${\displaystyle 2}$. Всякий элемент в ${\displaystyle O_{n}/\Omega _{n}}$ имеет порядок ${\displaystyle 2}$, ввиду чего строение этой группы полностью определяется кардинальным числом её элементов, которое может быть либо бесконечным, либо конечным вида ${\displaystyle 2^{a}}$, ${\displaystyle a}$ – целое. Описание остальных факторов существенно зависит от того, отличен ли от нуля индекс Витта ${\displaystyle \nu }$ формы ${\displaystyle f}$.

Пусть сначала ${\displaystyle \nu \geqslant 1}$. Тогда ${\displaystyle O_{n}^{+}/\Omega _{n}\approx k^{*}/k^{*}2}$ при ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Этот изоморфизм определён спинорной нормой, которая задаёт эпиморфизм ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ на ${\displaystyle k^{*}/k^{*^{2}}}$ с ядром ${\displaystyle \Omega _{n}}$. Группа ${\displaystyle \Omega _{n}\cap Z_{n}}$ нетривиальна (и состоит из преобразований ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{-1}}$) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n}$ чётно и ${\displaystyle \Delta \in k^{2}}$. Если ${\displaystyle n\geqslant 5}$, то группа ${\displaystyle P\Omega _{n}=\Omega _{n}/\left(\Omega _{n}\cap Z_{n}\right)}$ проста. Случаи ${\displaystyle n=3,4}$ рассматриваются отдельно. А именно, ${\displaystyle P\Omega _{3}=\Omega _{3}}$ изоморфна ${\displaystyle PSL_{2}(k)}$ (см. Специальная линейная группa) и также проста, если число элементов в ${\displaystyle k}$ не равно ${\displaystyle 3}$ (группа ${\displaystyle O_{3}^{+}}$ изоморфна проективной группе ${\displaystyle PGL_{2}(k)}$). При ${\displaystyle \nu =1}$ группа ${\displaystyle P\Omega _{4}=\Omega _{4}}$ изоморфна группе ${\displaystyle PSL_{2}\left(k({\sqrt {\Delta }})\right)}$ и проста (в этом случае ${\displaystyle \Delta \notin k^{2}}$), а при ${\displaystyle \nu =2}$ группа ${\displaystyle P\Omega _{4}}$ изоморфна ${\displaystyle PSL_{2}(k)\times PSL_{2}(k)}$ и не проста. В частном случае, когда ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ и ${\displaystyle Q}$ – форма сигнатуры ${\displaystyle (3,1)}$, группа ${\displaystyle P\Omega _{4}=\Omega _{4}\simeq PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ называется группой Лоренца.

В случае же, когда ${\displaystyle \nu =0}$ (то есть ${\displaystyle Q}$ – анизотропная форма), многие из указанных результатов не верны. Например, если ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$, а ${\displaystyle Q}$ – положительно определённая форма, то ${\displaystyle \Omega _{n}=O_{n}^{+}}$, хотя ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}/\mathbb {R} ^{*^{2}}}$ состоит из двух элементов; при ${\displaystyle k=Q}$, ${\displaystyle n=4}$, возможен случай, когда ${\displaystyle \Delta \in k^{2}}$, но ${\displaystyle \varphi _{-1}\notin \Omega _{4}}$. Вообще при ${\displaystyle \nu =0}$ структура ортогональных групп и связанных с ней групп существенно зависит от ${\displaystyle k}$. Например, если ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$, то ${\displaystyle PO_{n}^{+}}$, ${\displaystyle n\geqslant 3}$, ${\displaystyle n\neq 4}$, ${\displaystyle v=0}$, проста (а ${\displaystyle PO_{4}^{+}}$ изоморфна прямому произведению ${\displaystyle O_{3}^{+}\times O_{3}^{+}}$ двух простых групп); если же ${\displaystyle k}$ – поле ${\displaystyle p}$-адических чисел, то при ${\displaystyle \nu =0}$ в ${\displaystyle O_{3}}$ (и в ${\displaystyle O_{4}}$) существует бесконечный ряд нормальных делителей с абелевыми факторами. Наиболее изучены случаи локально компактного поля и поля алгебраических чисел. Если ${\displaystyle k}$ – поле ${\displaystyle p}$-адических чисел, то случай ${\displaystyle \nu =0}$ невозможен при ${\displaystyle n\geqslant 5}$. Если же ${\displaystyle k}$ – поле алгебраических чисел, то такого ограничения нет и один из основных результатов состоит в том, что ${\displaystyle P\Omega _{n}}$ при ${\displaystyle \nu =0}$ и ${\displaystyle n\geqslant 5}$ проста. В этом случае изучение ортогональных групп тесно связано с теорией эквивалентности квадратичных форм, которая основывается на рассмотрении форм, полученных из ${\displaystyle Q}$ при расширении ${\displaystyle k}$ до локальных полей, определённых нормированиями ${\displaystyle k}$ (принцип Хассе).

Если ${\displaystyle k}$ – конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ из ${\displaystyle q}$ элементов, то ортогональная группа является конечной группой. Порядок ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ при нечётном ${\displaystyle n}$ равен

${\displaystyle \left(q^{n-1}-1\right)q^{n-2}\left(q^{n-3}-1\right)q^{n-4}\ldots \left(q^{2}-1\right)q,}$

a при ${\displaystyle n=2m}$ равен

${\displaystyle \left(q^{2m-1}-\varepsilon q^{m-1}\right)\left(q^{2m-2}-1\right)q^{2m-3}\ldots \left(q^{2}-1\right)q,}$

где ${\displaystyle \varepsilon =1}$ при ${\displaystyle (-1)^{m}\Delta \in \mathbb {F} _{q}^{2}}$ и ${\displaystyle \varepsilon =-1}$ в противном случае. Указанные формулы вместе с приведёнными общими фактами об ортогональной группе при ${\displaystyle \nu \geqslant 1}$ позволяют вычислить также и порядки ${\displaystyle \Omega _{n}}$ и ${\displaystyle P\Omega _{n}}$, так как ${\displaystyle \nu \geqslant 1}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$, а порядок ${\displaystyle k^{*}/k^{*^{2}}}$ равен ${\displaystyle 2}$. Группа ${\displaystyle P\Omega _{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 5}$, является одной из классических простых конечных групп (см. также Группа Шевалле).

Один из основных результатов об автоморфизмах ортогональных групп состоит в следующем: если ${\displaystyle n\geqslant 3}$, то всякий автоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ группы ${\displaystyle O_{n}}$ имеет вид ${\displaystyle \varphi (u)=\chi (u)gug^{-1}}$, ${\displaystyle u\in O_{n}}$, где ${\displaystyle \chi }$ – фиксированный гомоморфизм ${\displaystyle O_{n}}$ в её центр, а ${\displaystyle g}$ – фиксированное биективное полулинейное отображение ${\displaystyle V}$ в себя, удовлетворяющее условию ${\displaystyle Q(g(v))=r_{g}Q^{\sigma }(v)}$ для всех ${\displaystyle v\in V}$, где ${\displaystyle r_{g}\in k^{*}}$, а ${\displaystyle \sigma }$ – связанный c ${\displaystyle g}$ автоморфизм ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle \nu \geqslant 1}$ и ${\displaystyle n\geqslant 6}$, то всякий автоморфизм ${\displaystyle O_{n}^{+}}$ индуцирован автоморфизмом ${\displaystyle O_{n}}$ (Дьедонне. 1974; Автоморфизмы классических групп. 1976^[3]).

Так же, как и другие классические группы, ортогональная группа допускает (при некоторых предположениях) геометрическую характеризацию. А именно, пусть ${\displaystyle Q}$ – такая анизотропная формa, что ${\displaystyle Q(v)\in k^{2}}$ для любого ${\displaystyle v\in V}$. В этом случае ${\displaystyle k}$ пифагорово упорядочиваемое поле. При фиксированном упорядочении поля ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$-мерной цепью инцидентных полупространств в ${\displaystyle V}$ называется любая последовательность ${\displaystyle \left(H_{s}\right)_{1\leqslant s\leqslant n}}$, построенная по линейно независимой системе векторов ${\displaystyle \left(h_{s}\right)_{1\leqslant s\leqslant n}}$, где ${\displaystyle H_{s}}$ – множество всех линейных комбинаций вида ${\displaystyle \sum _{j=1}^{s}\lambda _{j}h_{j},\lambda _{s}\geqslant 0}$. Группа ${\displaystyle O_{n}}$ обладает свойством свободной подвижности, то есть для любых двух ${\displaystyle n}$-мерных цепей полупространств существует единственное преобразование из ${\displaystyle O_{n}}$, переводящее первую цепь во вторую. Это свойство характеризует ортогональную группу: если ${\displaystyle L}$ – любое упорядоченное тело и ${\displaystyle G}$ – подгруппа в ${\displaystyle GL_{n}(L),n\geqslant 3}$, обладающая свойством свободной подвижности, то ${\displaystyle L}$ является пифагоровым полем, а ${\displaystyle G=O_{n}(L,f)}$, где ${\displaystyle f}$ такая анизотропная симметрическая билинейная форма, что ${\displaystyle f(v,v)\in L^{2}}$ для любого вектора ${\displaystyle v}$.

Пусть ${\displaystyle {\bar {k}}}$ – фиксированное алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$. Форма ${\displaystyle f}$ естественно продолжается до невырожденной симметрической билинейной формы ${\displaystyle {\bar {f}}}$ на ${\displaystyle V\otimes _{k}{\bar {k}}}$, а ортогональная группа ${\displaystyle O_{n}({\bar {k}},f)}$ является определённой над ${\displaystyle k}$ линейной алгебраической группой с группой ${\displaystyle k}$-точек ${\displaystyle O_{n}(k,f)}$. Определяемые таким образом (для разных ${\displaystyle f}$) линейные алгебраические группы изоморфны над ${\displaystyle {\bar {k}}}$ (но, вообще говоря, не над ${\displaystyle k}$); соответствующая линейная алгебраическая группа над ${\displaystyle {\bar {k}}}$ называется ортогональной алгебраической группой ${\displaystyle O_{n}({\bar {k}})}$. Её подгруппа ${\displaystyle O_{n}^{+}({\bar {k}},{\bar {f}})}$ также является линейной алгебраической группой над ${\displaystyle k}$ и называется собственно ортогональной, или специально ортогональной, алгебраической группой (обозначение: ${\displaystyle SO_{n}({\bar {k}})}$); она является связной компонентой единицы группы ${\displaystyle O_{n}({\bar {k}})}$. Группа ${\displaystyle SO_{n}({\bar {k}})}$ – почти простая алгебраическая группа (то есть не содержащая ненульмерных алгебраических нормальных делителей) типа ${\displaystyle B_{s}}$ при ${\displaystyle n=2s+1}$, ${\displaystyle s\geqslant 1}$, и типа ${\displaystyle D_{s}}$ при ${\displaystyle n=2s,s\geqslant 3}$. Универсальной накрывающей группы ${\displaystyle SO_{n}}$ является спинорная группа.

Если ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ или ${\displaystyle p}$-адическое поле, то ${\displaystyle O_{n}(k,f)}$ естественно снабжается структурой вещественной, комплексной или ${\displaystyle p}$-адической аналитической группы. Группа Ли ${\displaystyle O_{n}(\mathbb {R} ,f)}$ определяется с точностью до изоморфизма сигнатурой формы ${\displaystyle f}$; если эта сигнатура имеет вид ${\displaystyle (p,q),p+q=n}$, то ${\displaystyle O_{n}(\mathbb {R} ,f)}$ обозначается через ${\displaystyle O(p,q)}$ и называется псевдоортогональной группой. Её можно отождествить с группой Ли всех действительных ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц ${\displaystyle A}$, удовлетворяющих условию

${\displaystyle A^{\top }I_{p,q}A=I_{p,q},{\text{ где }}I_{p,q}=\left\|{\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right\|}$

(через ${\displaystyle 1_{s}}$ обозначена единичная ${\displaystyle (s\times s)}$-матрица); алгебра Ли этой группы отождествляется с алгеброй Ли всех действительных ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц ${\displaystyle X}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle X^{\top }I_{p,q}=-I_{p,q},X}$. В частном случае ${\displaystyle q=0}$ группа ${\displaystyle O(p,q)}$ обозначается через ${\displaystyle O(n)}$ и называется вещественной ортогональной группой; её алгебра Ли состоит из всех кососимметрических действительных ${\displaystyle (n\times n)}$-матриц. Группа Ли ${\displaystyle O(p,q)}$ имеет четыре компоненты связности при ${\displaystyle q\neq 0}$ и две компоненты связности при ${\displaystyle q=0}$. Связной компонентой единицы является её коммутант, который при ${\displaystyle q=0}$ совпадает с подгруппой ${\displaystyle SO(n)}$ в ${\displaystyle O(n)}$, состоящей из всех преобразований с определителем, равным ${\displaystyle 1}$. Группа ${\displaystyle O(p,q)}$ компактна только при ${\displaystyle q=0}$. Инварианты ${\displaystyle SO(n)}$ как топологические многообразия достаточно подробно изучены. Один из классических результатов в этом направлении – вычисление чисел Бетти многообразия ${\displaystyle SO(n)}$: его полином Пуанкаре имеет вид

${\displaystyle \prod _{s=1}^{m}\left(1+t^{4s-1}\right)}$

при ${\displaystyle n=2m+1}$ и вид

${\displaystyle \left(1+t^{2m-1}\right)\prod _{s=1}^{m-1}(1+t^{4s-1})}$

при ${\displaystyle n=2m}$. Фундаментальная группа многообразия ${\displaystyle SO(n)}$ есть ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$. Вычисление высших гомотопических групп ${\displaystyle \pi _{l}(SO(n))}$ имеет непосредственное отношение к классификации локально тривиальных главных ${\displaystyle SO(n)}$ расслоений над сферами. Важную роль в топологической K-теории играет теорема периодичности, согласно которой при ${\displaystyle N\gg n}$ имеют место изоморфизмы

${\displaystyle \pi _{n+8}(O(N))\simeq \pi _{n}(O(N)),\quad \pi _{n}(O(N))\simeq \mathbb {Z} _{2},}$

если ${\displaystyle n=0,1}$;

${\displaystyle \pi _{n}(O(N))\simeq \mathbb {Z} ,}$

если ${\displaystyle n=3,7}$, и

${\displaystyle \pi _{n}(O(N))=0,}$

если ${\displaystyle n=2,4,5,6}$. Изучение топологии группы ${\displaystyle O(p,q)}$ по существу сводится к предыдущему случаю, так как связная компонента единицы группы ${\displaystyle O(p,q)}$ диффеоморфна произведению ${\displaystyle SO(p)\times SO(q)}$ на евклидово пространство.