Проективное преобразование

Проекти́вное преобразова́ние, взаимно однозначное преобразование проективной плоскости или проективного пространства в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой (поэтому проективное преобразование иногда называют коллинеацией). Проективным преобразованием проективной прямой называют взаимно однозначное отображение её в себя, при котором сохраняется гармоническое расположение точек этой прямой. Простейшим и вместе с тем наиболее важным для приложений примером проективного преобразования на плоскости является гомология, примером проективного преобразования пространства – центральное проектирование (перспектива). Проективные преобразования образуют группу, основным инвариантом которой является двойное отношение четырёх точек прямой.

Основная теорема о проективном преобразовании прямой утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три её заданные точки в любые другие три заданные точки. Основная теорема о проективном преобразовании проективной плоскости утверждает, что каковы бы ни были четыре точки${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и четыре точки той же плоскости ${\displaystyle A',B',C',D'}$, из которых никакие три также не лежат на одной прямой, существует единственное проективное преобразование, которое точки ${\displaystyle A,B,C,D}$ переводит соответственно в точки ${\displaystyle A',B',C',D'}$. Аналогичная теорема имеет место и в проективном пространстве: проективное преобразование определяется пятью точками, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости.

В однородных координатах проективное преобразование выражается однородным линейным преобразованием, определитель матрицы которого не равен нулю. Рассматриваются также проективные преобразования евклидовой плоскости или пространства; в декартовых координатах они выражаются дробно-линейными функциями, причём свойство взаимной однозначности преобразования утрачивается.