Проективное множество

Проекти́вное мно́жество, множество, которое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. Проективные множества классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть ${\displaystyle I=\omega ^{\omega }}$ – бэровское пространство (гомеоморфное пространству иррациональных чисел). Множество ${\displaystyle P\subset I^{m}}$ принадлежит: 1) классу ${\displaystyle A_{1}}$, если ${\displaystyle P}$ есть проекция борелевского множества пространства ${\displaystyle I^{m+1}}$; 2) классу ${\displaystyle CA_{n}}$ (${\displaystyle P}$ есть ${\displaystyle CA_{n}}$-множество), если его дополнение ${\displaystyle I^{m}\setminus P}$ есть ${\displaystyle A_{n}}$-множество (${\displaystyle n\geq 1}$); 3) классу ${\displaystyle A_{n}}$ (${\displaystyle P}$ есть ${\displaystyle A_{n}}$-множество), если ${\displaystyle P}$ есть проекция ${\displaystyle CA_{n-1}}$-множества пространства ${\displaystyle I^{m+1}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$; 4) классу ${\displaystyle B_{n}}$, если ${\displaystyle P}$ принадлежит одновременно классам ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle CA_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$. Те же классы получаются заменой проекции непрерывным образом (множества того же пространства ${\displaystyle I^{m}}$).

В силу теоремы Суслина класс ${\displaystyle A_{1}}$ совпадает с классом ${\displaystyle A}$-множеств (следовательно, класс ${\displaystyle CA_{1}}$ – с классом ${\displaystyle CA}$-множеств), а класс ${\displaystyle B_{1}}$ – с классом борелевских множеств. Для каждого класса ${\displaystyle A_{n}}$ построено универсальное множество, и при его помощи доказана следующая теорема о проективной иерархии (теорема «существования», теорема «о непустоте классов»): ${\displaystyle B_{n}\subset A_{n}\subset B_{n+1}}$ (следовательно, ${\displaystyle B_{n}\subset A_{n}\subset B_{n+1}}$), где каждое из включений – строгое. Мощность множества всех проективных множеств пространства ${\displaystyle I}$ равна ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

Каждое ${\displaystyle A_{2}}$-множество – объединение ${\displaystyle \aleph _{1}}$ борелевских множеств и, значит, счётно или имеет мощность ${\displaystyle \aleph _{1}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ (см. Sierpiński. 1925^[1]; Jech. 1978^[2]). Для класса ${\displaystyle A_{2}}$ выполнены принципы униформизации и редукции, а для класса ${\displaystyle CA_{2}}$ – (первый) принцип отделимости. Каждый из проективных классов с номером ${\displaystyle n\geq 2}$ инвариантен относительно ${\displaystyle A}$-операции. Для каждого из классов ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle CA_{n}}$ существует ${\displaystyle \delta s}$-операция, дающая в точности все множества этого класса, исходя из замкнутых множеств. Изучение проективных множеств (даже второго класса) – трудная задача. Многие вопросы теории проективных множеств оказались неразрешимыми в классическом смысле, что полностью подтвердило предвидение (см. Лузин. 1958^[3]) «область проективных множеств есть область, где принцип исключённого третьего уже неприменим». Теория проективных множеств получила своё дальнейшее продвижение с привлечением сильных теоретико-множественных предположений, таких как ${\displaystyle {\rm {MC}}}$ (существует измеримый кардинал), ${\displaystyle PD}$ (аксиома проективной определимости), ${\displaystyle V=L}$.

В предположении ${\displaystyle {\rm {MC}}}$: каждое ${\displaystyle A_{2}}$-множество измеримо (по Лебегу), обладает свойством Бэра и, если несчётно, содержит (непустое) совершенное подмножество; каждое ${\displaystyle A_{3}}$-множество может быть униформизировано ${\displaystyle A_{4}}$-множеством.

В предположении ${\displaystyle PD}$: 1) каждое проективное множество измеримо, обладает свойством Бэра и, если несчётно, содержит совершенное подмножество, может быть униформизировано проективным множеством, точнее: принцип униформизации выполнен для классов ${\displaystyle A_{2n}}$ и ${\displaystyle CA_{2n+1}}$; 2) для классов ${\displaystyle A_{2n}}$ и ${\displaystyle CA_{2n+1}}$ выполнен принцип редукции, следовательно, для классов ${\displaystyle A_{2n+1}}$ и ${\displaystyle CA_{2n}}$ – принцип отделимости.

В предположении ${\displaystyle V=L}$: 1) существует несчётное ${\displaystyle CA}$-множество, не содержащее совершенного подмножества, и неизмеримое ${\displaystyle B_{2}}$-множество без свойства Бэра; 2) при ${\displaystyle n\geq 2}$ для класса ${\displaystyle A_{n}}$ выполнен принцип униформизации.

Если для класса ${\displaystyle A_{n}}$ выполнен принцип униформизации, то выполнен и принцип редукции. При ${\displaystyle n\geq 3}$ обратная импликация недоказуема в ${\displaystyle {\rm {ZFC}}}$. Если существует неизмеримое (или без свойства Бэра) ${\displaystyle A_{2}}$-множество, то существует несчётное ${\displaystyle CA}$-множество, не содержащее совершенного подмножества. Если каждое несчётное ${\displaystyle CA}$-множество содержит совершенное подмножество, то это же верно для каждого несчётного ${\displaystyle A_{2}}$-множества (см. Jech. 1978).

Отмеченные результаты справедливы не только для пространства ${\displaystyle I}$, но и для числовой прямой и, вообще, для любого полного сепарабельного метрического пространства. Имеет место следующая теорема о топологической инвариантности проективных множеств: гомеоморфный образ проективного множества данного класса, расположенный в том же или любом другом полном сепарабельном метрическом пространстве, есть проективное множество того же класса.