Формула Планшереля

Фо́рмула Планшере́ля, формула, выражающая инвариантность скалярного произведения при преобразовании Фурье в пространстве ${\displaystyle L_{2}(X)}$:

${\displaystyle \int _{Y}{\hat {f}}_{1}(y){\overline {{\hat {f}}_{2}(y)}}\,d\mu (y)=\int _{X}f_{1}(x){\overline {f_{2}(x)}}\,d\mu (x)}$.

В классическом случае, когда ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ^{n}}$ есть ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство, ${\displaystyle \mu (x)}$ и ${\displaystyle \mu (y)}$ суть ${\displaystyle n}$-мерные меры Лебега, преобразование Фурье

${\displaystyle f(x)\mapsto {\hat {f}}(y)}$

на пространстве${\displaystyle L_{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\ni f}$ является непрерывным продолжением классического преобразования Фурье

${\displaystyle }$
${\displaystyle g(x)\longmapsto {\hat {g}}(y)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{R^{n}}g(x)e^{i(x,y)}\,dx,}$
${\displaystyle g\in L_{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\quad }$
${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\quad y=\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right),}$
${\displaystyle }$

${\displaystyle (x,y)}$ – скалярное произведение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, с множества ${\displaystyle L_{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\cap L_{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ на пространство ${\displaystyle L_{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$.

Формула Планшереля справедлива также, когда ${\displaystyle X}$ – локально компактная коммутативная топологическая группа, ${\displaystyle Y}$ – её группа характеров, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle \mu (x)}$ и ${\displaystyle \mu (y)}$ – соответствующим образом нормированные инвариантные меры в группах ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, a преобразование Фурье ${\displaystyle f(x)\mapsto {\hat {f}}(y)}$ на пространстве ${\displaystyle L_{2}(X)\ni f}$ является непрерывным продолжением отображения

${\displaystyle }$
${\displaystyle g(x)\longmapsto {\hat {g}}(y)=\int _{X}g(x)y(x)\,d\mu (x),}$
${\displaystyle g(x)\in L_{1}(X),\quad y(x)\in Y,}$
${\displaystyle }$

c множества ${\displaystyle L_{1}(X)\cap L_{2}(X)}$ на пространство ${\displaystyle L_{2}(X)}$.

Формула Планшереля обобщается на некоммутативные топологические группы. Пусть, например, ${\displaystyle G}$ – бикомпактная группа, ${\displaystyle \mu }$ – инвариантная мера на ней, ${\displaystyle \mu (G)=1}$, ${\displaystyle g\mapsto U_{g}^{(\alpha )}}$ – неприводимое конечномерное унитарное представление размерности ${\displaystyle n_{\alpha }}$ группы ${\displaystyle G}$ в гильбертовом пространстве, ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle \alpha =1,2,\ldots }$, ${\displaystyle x(g)\in L_{2}(G)}$,

${\displaystyle T_{x}^{(\alpha )}{\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{G}x(g)U_{E}^{(\alpha )*}\,d\mu (g)}$

(* — переход к сопряжённому оператору), ${\displaystyle S\left(T_{x}^{(\alpha )}T_{x}^{(\alpha )*}\right)}$ – след оператора ${\displaystyle T_{x}^{(\alpha )}T_{x}^{(\alpha )^{*}}}$. Тогда обобщённая формула Планшереля имеет вид

${\displaystyle \displaystyle \int _{G}\mid x(g)\mid ^{2}\,d\mu (g)=\sum _{\alpha }n_{\alpha S}\left(T_{x}^{(\alpha )}T_{x}^{(\alpha )^{*}}\right)}$.