Неравенства Хаусдорфа – Юнга

Нера́венства Хаусдо́рфа – Ю́нга, оценки коэффициентов Фурье функций из ${\displaystyle L_{p}}$; установлены У. Юнгом (1913) и Ф. Хаусдорфом (1923). Пусть ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$ – ортонормированная система функций на ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle |\varphi _{n}(t)|\leqslant M}$ для вcex ${\displaystyle t\in [a,b]}$ и всех ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant 2}$, ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$. Если ${\displaystyle f\in L_{p}}$, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left|c_{n}(f)\right|^{p^{\prime }}\right)^{1/p^{\prime }}\leqslant M^{\frac {2-p}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(t)|^{p}dt\right)^{1/p},\end{aligned}}}$ (1)

где ${\displaystyle c_{n}(f)}$ – коэффициенты Фурье функции ${\displaystyle f}$. Если ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$, то существует такая функция ${\displaystyle g\in L_{p'}}$ с коэффициентами Фурье ${\displaystyle a_{n}}$, что

${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|g(t)|^{p^{\prime }}dt\right)^{1/p^{\prime }}\leqslant M^{\frac {2-p}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$ (2)

B качестве ${\displaystyle g(t)}$ можно взять ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(t)}$, причём этот ряд сходится в ${\displaystyle L_{p'}}$.

Неравенства Хаусдорфа – Юнга (1) и (2) эквивалентны. Для ${\displaystyle p>2}$ они не имеют места. Более того, если ${\displaystyle b_{n}\geqslant 0}$, ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}<\infty }$, то существует такая непрерывная функция ${\displaystyle f}$, что её коэффициенты Фурье по тригонометрической системе ${\displaystyle c_{n}(f)}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle \left|c_{n}(f)\right|>b_{n}}$. Качественная формулировка неравенств Хаусдорфа – Юнга (если ${\displaystyle f\in L_{p}}$, ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant 2}$, то ${\displaystyle \{c_{n}(f)\}\in l_{p^{\prime }}}$) для неограниченных ортонормированных систем функций, вообще говоря, не имеет места. Аналог неравенств Хаусдорфа – Юнга справедлив для широкого класса функциональных пространств.