Полуторалинейная форма

Полу́торалине́йная фо́рма, функция от двух переменных на модуле (например, на векторном пространстве), линейная по одному переменному и полулинейная по другому.

Точнее, полуторалинейной формой на унитарном модуле ${\displaystyle E}$ над ассоциативно-коммутативным кольцом ${\displaystyle A}$ с единицей, снабжённом автоморфизмом ${\displaystyle {{\ce {a -> a^{\sigma}}}}}$, называется отображение ${\displaystyle {\ce {\varphi :E\times E->A}}}$, линейное при фиксированном втором аргументе и полулинейное при фиксированном первом аргументе. Аналогично определяется полуторалинейное отображение ${\displaystyle {\ce {E\times F->G}}}$, где ${\displaystyle E,F,G}$ – ${\displaystyle A}$-модули. В случае, когда ${\displaystyle a^{\sigma }=a}$ (${\displaystyle a\in A}$), получается понятие билинейной формы (и билинейного отображения). Другой важный пример полуторалинейной формы получается, когда ${\displaystyle V}$ – векторное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle a={\vec {a}}}$. Специальным случаем полуторалинейной формы являются эрмитовы формы (а также косоэрмитовы формы).

Полуторалинейные формы можно рассматривать и на модулях над некоммутативным кольцом ${\displaystyle A}$; в этом случае предполагается, что

${\displaystyle (ab)^{\sigma }=b^{\sigma }a^{\sigma },a,b\in A}$.

Для полуторалинейной формы удаётся ввести многие понятия теории билинейных форм, например понятия ортогонального подмодуля, левого и правого ядра, невырожденной формы, матрицы формы в данном базисе, ранга формы, сопряжённых гомоморфизмов.