Полулинейное отображение

Полулине́йное отображе́ние, отображение ${\displaystyle \alpha }$ (левого) модуля ${\displaystyle M}$ в (левый) модуль ${\displaystyle N}$ над одним и тем же кольцом ${\displaystyle A}$, удовлетворяющее условиям:

${\displaystyle \alpha (x+y)=\alpha (x)+\alpha (y),}$
${\displaystyle alpha(cx)=c^{\sigma }\alpha (x),}$

где ${\displaystyle x,y\in M}$, ${\displaystyle c\in A}$, ${\displaystyle {{\ce {c -> c\sigma}}}}$ – некоторый автоморфизм кольца ${\displaystyle A}$. В этом случае говорят, что ${\displaystyle \alpha }$ полулинейно относительно автоморфизма ${\displaystyle \sigma }$. Полулинейное отображение векторных пространств над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ относительно комплексного сопряжения ${\displaystyle c^{\sigma }={\overline {c}}}$ называется также антилинейным отображением. Полулинейное отображение ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$ в себя называется полулинейным преобразованием.

Например, гомотетия ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$, т. е. отображение ${\displaystyle {{\ce {x -> a x}}}}$ ${\displaystyle (x\in M)}$, где ${\displaystyle a}$ – фиксированный обратимый элемент кольца ${\displaystyle A}$, есть полулинейное преобразование относительно автоморфизма ${\displaystyle c^{\sigma }=aca^{-1}}$.

Для полулинейного отображения остаются справедливыми многие свойства линейных отображений и гомоморфизмов модулей. В частности, ядро и образ полулинейного отображения являются подмодулями; полулинейные отображения свободных модулей с конечными базисами полностью определяются своей матрицей; для полулинейных отображений векторных пространств определяется ранг, совпадающий с рангом его матрицы, и т. д.