Замена базы

Заме́на ба́зы, теоретико-категорная конструкция, частными случаями которой являются понятие индуцированного расслоения в топологии, а также понятие расширения кольца скаляров в теории модулей. Пусть ${\displaystyle C}$ – категория с расслоенными произведениями и ${\displaystyle g:S^{\prime }\rightarrow S}$ – морфизм этой категории. Замена базы при помощи морфизма ${\displaystyle g}$ есть функтор из категории ${\displaystyle S}$-объектов (т. е. из категории морфизмов ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$, где ${\displaystyle X}$ – объект из ${\displaystyle C}$) в категорию ${\displaystyle S^{\prime }}$-объектов, сопоставляющий ${\displaystyle S}$-объекту ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$-объект ${\displaystyle f^{\prime }:X^{\prime }\rightarrow S^{\prime }}$, где ${\displaystyle X^{\prime }=X\times {}_{S}S^{\prime }}$, а морфизм ${\displaystyle f^{\prime }}$ есть проекция на второй сомножитель. Морфизм ${\displaystyle g}$ при этом называется морфизмом замены базы. Говорят также, что объект ${\displaystyle X^{\prime }}$ получен заменой базы из объекта ${\displaystyle X}$.

Частным случаем понятия замены базы является понятие слоя морфизма ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ схемы ${\displaystyle S}$, а именно: слой морфизма ${\displaystyle f}$ над точкой ${\displaystyle s\in S}$ есть схема

${\displaystyle X_{s}=X\times _{S}s}$,

т. е. схема, получаемая из ${\displaystyle X}$ заменой базы при помощи естественного морфизма ${\displaystyle s\rightarrow S}$. Аналогично определяется геометрический слой ${\displaystyle X_{s}}$, он получается заменой базы при помощи морфизма ${\displaystyle \operatorname {S{\text{рес}}} K\rightarrow S}$, связанного с точкой ${\displaystyle s}$, где ${\displaystyle K}$ – алгебраически замкнутое поле. Многие свойства ${\displaystyle S}$-схемы ${\displaystyle X}$ сохраняются при замене базы. Обратная задача – восстановление свойств схемы ${\displaystyle X}$ по свойствам схемы, полученной из ${\displaystyle X}$ заменой базы, – рассматривается в теории спуска (Théorie des topos et cohomologie étale des schémas ... 1973^[1]).

Пусть морфизм ${\displaystyle f^{\prime }:X^{\prime }\rightarrow S^{\prime }}$ получен заменой базы при помощи ${\displaystyle g:S^{\prime }\rightarrow S}$ из морфизма ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$, т. е. задан декартов квадрат

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}X'&{\overset {g'}{\longrightarrow }}&X\\{\scriptstyle f'}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle f}\\S'&{\underset {g}{\longrightarrow }}&S\end{array}}}$

и пусть ${\displaystyle F}$ – пучок множеств на ${\displaystyle X}$. Тогда существует естественное отображение пучков ${\displaystyle \psi :g^{*}f_{*}(F)\to f_{*}^{\prime }g^{\prime *}(F)}$. Если ${\displaystyle F}$ – пучок абелевых групп, то для каждого ${\displaystyle q\geqslant 0}$ существует естественный гомоморфизм пучков

${\displaystyle \psi _{q}:g^{*}\left(R^{q}f_{*}(F)\right)\longrightarrow R^{q}f_{*}^{\prime }\left(g^{\prime *}(F)\right)}$.

При этом ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \psi _{q}}$ также называются морфизмами замены базы. Принято говорить, что справедлива теорема о замене базы, если ${\displaystyle \psi }$ или соответственно ${\displaystyle \psi _{q}}$ являются изоморфизмами. Иначе говоря, теорема о замене базы – это утверждение о согласованности (коммутировании) функторов ${\displaystyle R^{q}f_{*}}$ с функтором замены базы. В частности, если ${\displaystyle g}$ есть вложение точки ${\displaystyle s\in S}$, то теорема о замене базы означает существование естественного изоморфизма${\displaystyle \left(R^{q}f_{*}(F)\right)_{x}{\overset {\sim }{\rightarrow }}H^{q}\left(X_{x},F\mid _{X_{x}}\right)}$ между слоем ${\displaystyle q}$-го прямого образа пучка ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle q}$-мерной группой когомологий слоя морфизма ${\displaystyle f}$. Теорема о замене базы справедлива в следующих ситуациях: 1) ${\displaystyle f}$ – собственное отображение паракомпактных топологических пространств, ${\displaystyle S}$ – локально компактное пространство (Годеман. 1961^[2]); 2) ${\displaystyle f}$ – отделимый квазикомпактный морфизм схем, ${\displaystyle g}$ – плоский морфизм, ${\displaystyle F}$ – квазикогерентный пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулей [теорему о сравнении когомологий обычных и формальных схем (Grothendieck. 1961^[3]) также можно интерпретировать как теорему о замене базы]; 3) ${\displaystyle f}$ – собственный морфизм схем, ${\displaystyle F}$ – пучок кручения в этальной топологии. Некоторые другие случаи, в которых справедлива теорема o замене базы, рассмотрены в (Théorie des topos et cohomologie étale des schémas ... 1973).