Первообразная

Первообра́зная (первообразная функция, примитивная функция) для конечной функции ${\displaystyle f(x)}$ – такая функция ${\displaystyle F(x)}$, что всюду ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Это определение является наиболее распространённым, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной ${\displaystyle F'}$ и выполнения всюду равенства ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$; иногда в определении используют обобщения производной. Большинство теорем о первообразных касается их существования, нахождения и единственности. Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции ${\displaystyle f}$ является непрерывность ${\displaystyle f}$; необходимыми условиями являются принадлежность функции ${\displaystyle f}$ 1-му классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу. У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную. Задачу нахождения ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle F'}$ для непрерывных ${\displaystyle F'}$ решает интеграл Римана, для ограниченных ${\displaystyle F'}$ – интеграл Лебега, для любой ${\displaystyle F'}$ – узкий (а тем более широкий) интеграл Данжуа и интеграл Перрона.