Интеграл Римана

Интегра́л Ри́мана, обобщение понятия интеграла Коши на некоторый класс разрывных функций, введённое Б. Риманом (B. Riemann, 1853). Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{i-1}<x_{i}<\ldots <x_{n}=b}$
${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n,\quad x_{i}-x_{i-1}=\Delta x_{i}.}$

Сумма вида

${\displaystyle \sigma =f\left(\xi _{1}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)+\ldots +f\left(\xi _{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+\ldots +f\left(\xi _{n}\right)\left(x_{n}-x_{n-1}\right),}$ (1)

где ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant \xi _{i}\leqslant x_{i}}$, называется интегральной суммой, отвечающей данному разбиению отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ точками ${\displaystyle x_{i}}$ и выбору точек ${\displaystyle \xi _{i}}$. Число ${\displaystyle I}$ называется пределом интегральных сумм (1) при ${\displaystyle \max _{i}\Delta x_{i}\rightarrow 0}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдется ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что при ${\displaystyle \max _{i}\Delta x_{i}<\delta }$ справедливо неравенство ${\displaystyle \mid \sigma -I\mid <\varepsilon }$. Если существует конечный предел интегральных сумм при ${\displaystyle \max _{i}\Delta x_{i}\rightarrow 0}$, то функцию ${\displaystyle f(x)}$ называют интегрируемой в смысле Римана на отрезке${\displaystyle [a,b]}$ при ${\displaystyle a<b}$, а указанный предел – определённым интегралом Римана от функции ${\displaystyle f(x)}$ по отрезку ${\displaystyle [a,b]}$ и обозначают

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ (2)

При a=b, по определению, полагают

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0}$,

а при ${\displaystyle a>b}$ определяют интеграл (2) с помощью равенства

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}$.

интегрируемости ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$ в смысле Римана являются ограниченность ${\displaystyle f(x)}$ на этом отрезке и равенство нулю меры Лебега множества всех точек разрыва ${\displaystyle f(x)}$, содержащихся на ${\displaystyle [a,b]}$.</b<></math>

Свойства интеграла Римана. 1. Всякая интегрируемая по Риману на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функция ${\displaystyle f(x)}$ ограничена на этом отрезке (обратное неверно: примером ограниченной и неинтегрируемой на ${\displaystyle [a,b]}$ функции служит функция Дирихле).

2. Линейное свойство: для любых постоянных ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ из интегрируемости на ${\displaystyle [a,b]}$ каждой из функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ следуют интегрируемость на этом отрезке функции ${\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)}$ и равенство

${\displaystyle \int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$.

3. Из интегрируемости на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ каждой из функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ следует интегрируемость на этом отрезке произведения ${\displaystyle f(x)g(x)}$.

4. Аддитивность: из интегрируемости функции ${\displaystyle f(x)}$ на каждом из отрезков ${\displaystyle [a,c]}$ и ${\displaystyle [c,b]}$ следуют интегрируемость ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и равенство

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$.

5. Если функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ интегрируемы на ${\displaystyle [a,b]}$ и если ${\displaystyle f(x)\geqslant g(x)}$ всюду на этом отрезке, то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geqslant \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$.

6. Из интегрируемости на ${\displaystyle [a,b]}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ следуют интегрируемость на этом отрезке функции ${\displaystyle \mid f(x)\mid }$ и справедливость оценки

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant \int _{a}^{b}\mid f(x)\mid \,dx}$.

7. Формула среднего значения: если функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ интегрируемы на ${\displaystyle [a,b]}$, функция ${\displaystyle g(x)}$ неотрицательна или неположительна всюду на этом отрезке, а ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ – точные верхняя и нижняя грани ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, то найдется число ${\displaystyle \mu }$ из отрезка ${\displaystyle m\leqslant \mu \leqslant M}$ такое, что справедлива формула

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$.

Если, кроме того, функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, то на этом отрезке найдется точка ${\displaystyle \xi }$ такая, что в формуле (3) ${\displaystyle \mu =f(\xi )}$.

8. Вторая формула среднего значения (формула Бонне): если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на ${\displaystyle [a,b]}$, а функция ${\displaystyle g(x)}$ монотонна на этом отрезке, то найдется точка ${\displaystyle \xi }$ на ${\displaystyle [a,b]}$ такая, что справедлива формула

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{\xi }f(x)\,dx+g(b)\int _{\xi }^{b}f(x)\,dx}$.