Интеграл Данжуа

Интегра́л Данжуа́, 1) узкий (специальный) интеграл Данжуа – обобщение понятия интеграла Лебега. Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется интегрируемой в смысле узкого (специального, ${\displaystyle D^{*}}$) интеграла Данжуа на ${\displaystyle [a,b]}$, если существует такая непрерывная функция ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, что ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ почти всюду, и каково бы ни было совершенное множество ${\displaystyle P}$, существует порция ${\displaystyle P}$, на которой ${\displaystyle F(x)}$ абсолютно непрерывна и

${\displaystyle \sum _{n}\omega (F;(\alpha _{n},\beta _{n}))<\infty ,}$

где ${\displaystyle \{(\alpha _{n},\beta _{n})\}}$ – совокупность смежных интервалов к порции ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \omega (F;(\alpha _{n},\beta _{n}))}$ – колебание ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$; при этом

${\displaystyle (D^{*})\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$.

Такое обобщение интеграла Лебега ввёл А. Данжуа (Denjoy. 1912, 1912); он показал, что этот интеграл восстанавливает функцию по её точной конечной производной. Интеграл ${\displaystyle D^{*}}$ эквивалентен интегралу Перрона.

2) Широкий (общий) интеграл Данжуа – обобщение понятия узкого интеграла Данжуа. Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется интегрируемой в смысле широкого (общего, ${\displaystyle D}$) интеграла Данжуа на ${\displaystyle [a,b]}$, если существует такая непрерывная функция ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, что её аппроксимативная производная почти всюду равна ${\displaystyle f(x)}$, и каково бы ни было совершенное множество ${\displaystyle P}$, существует порция ${\displaystyle P}$, на которой ${\displaystyle F(x)}$ абсолютно непрерывна; при этом

${\displaystyle (D)\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.

Введён независимо и почти одновременно А. Данжуа (Denjoy. 1916) и А. Я. Хинчиным (Khintchin. 1916.^[1]; Хинчин. 1918). Интеграл ${\displaystyle D}$ восстанавливает непрерывную функцию по её точной конечной аппроксимативной производной.

3) Тотализация ${\displaystyle (T_{2S})_{0}}$ представляет собой конструктивно определённый интеграл для решения задачи построения такого обобщения интеграла Лебега, которое позволило бы всякий всюду сходящийся тригонометрический ряд рассматривать в качестве ряда Фурье (по этому интегралу). Введена А. Данжуа (Denjoy. 1941–1949^[2]).

4) Тотализация ${\displaystyle (T_{2S})}$ отличается от тотализации ${\displaystyle (T_{2S})_{0}}$ тем, что при определении тотализации ${\displaystyle (T_{2S})_{0}}$ обычный предел заменён на аппроксимативный. Для тотализации ${\displaystyle (T_{2S})}$ А. Данжуа (Denjoy. 1941–1949) дал и дескриптивное определение.

О взаимосвязях тотализаций ${\displaystyle (T_{2S})_{0}}$ и ${\displaystyle (T_{2S})}$ с другими интегралами см. Виноградова. 1971.