Интеграл Перрона

Интегра́л Перро́на, обобщение понятия интеграла Лебега. Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется интегрируемой на ${\displaystyle [a,b]}$ в смысле Перрона, если существуют такие функции ${\displaystyle M(x)}$ (мажоранта) и ${\displaystyle m(x)}$ (миноpaнтa), чтo

${\displaystyle }$
${\displaystyle M(a)=0,\quad DM(x)\geqslant f(x),\quad {\underline {D}}M(x)\neq -\infty }$
${\displaystyle m(a)=0,\quad {\overline {D}}m(x)\leqslant f(x),\quad {\overline {D}}m(x)\neq +\infty }$
${\displaystyle }$

(где ${\displaystyle {\underline {D}}}$ и ${\displaystyle {\overline {D}}}$ – нижняя и верхняя производные) для ${\displaystyle x\in [a,b]}$ и нижняя грань значений ${\displaystyle M(b)}$ мажорант ${\displaystyle M(x)}$ равна верхней грани значений ${\displaystyle m(b)}$ минорант ${\displaystyle m(x)}$; их общее значение называется интегралом Пеppoнa от ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a,b]}$ и обозначается

${\displaystyle (P)\int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Интеграл Перрона восстанавливает функцию по её точной конечной производной; он эквивалентен узкому интегралу Данжуа. Интеграл Перрона для ограниченных функций ввёл О. Перрон в 1914 г., окончательное определение было дано Г. Бayэpом в 1915 г.