Обратная задача теории Галуа

Обра́тная зада́ча тео́рии Галуа́, задача построения конечного нормального расширения для данного поля ${\displaystyle k}$ с заданной группой Галуа (см. Теория Галуа, а также выяснения условий, обеспечивающих существование или отсутствие такого расширения над полем ${\displaystyle k}$).

Если ${\displaystyle k}$ есть поле рациональных чисел, то эта задача превращается в задачу построения нормального поля алгебраических чисел с заданной группой Галуа и сводится к отысканию алгебраического уравнения над ${\displaystyle k}$ с данной группой Галуа. Такие уравнения существуют для любой симметрической группы, а также для знакопеременной группы. Конструктивно уравнения со знакопеременными группами построены И. Шуром, в частности показано, что уравнения вида

${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}+{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}+\dots +{\frac {x}{1!}}+1=0}$

(отрезки разложения показательной функции) имеют при ${\displaystyle n\equiv 0\ ({\rm {mod}}\ 4)}$ группой Галуа знакопеременную группу, а в остальных случаях – симметрическую группу.

Существование расширения поля алгебраических чисел с любой разрешимой группой ${\displaystyle G}$ в качестве группы Галуа доказано И. Р. Шафаревичем (Шафаревич. 1954^[1]) с использованием арифметических свойств полей алгебраических чисел. В качестве решения ${\displaystyle K}$ можно выбрать такое поле, что дискриминант ${\displaystyle K}$ над полем алгебраических чисел взаимно прост с любым наперёд заданным целым числом, и, следовательно, решений данной задачи бесконечно много.

Рассмотрение групп Галуа бесконечных расширений данного поля (см. Топологическая группа Галуа) даёт возможность решать обратную задачу теории Галуа сразу для множества однотипных полей: конечных, локальных, полей алгебраических функций от одной переменной.