Знакопеременная группа

Знакопереме́нная гру́ппа ${\displaystyle n}$-й степени, подгруппа ${\displaystyle A_{n}}$ симметрической гpуппы ${\displaystyle S_{n}}$, состоящая из всех чётных подстановок. ${\displaystyle A_{n}}$ является инвариантной подгруппой индекса ${\displaystyle 2}$ и порядка ${\displaystyle n!/2}$ группы ${\displaystyle S_{n}}$. Подстановки из ${\displaystyle A_{n}}$, рассматриваемые как подстановки индексов переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, не изменяют значения так называемого знакопеременного многочлена ${\displaystyle \Pi \left(x_{i}-x_{j}\right)}$, откуда и происходит название «знакопеременная группа». Группа ${\displaystyle A_{m}}$ может быть определена и для бесконечной мощности ${\displaystyle m}$, как подгруппа симметрической группы ${\displaystyle S_{m}}$ бесконечной мощности ${\displaystyle m}$, состоящая из всех чётных подстановок. При ${\displaystyle n>3}$ группа ${\displaystyle A_{n}}$ будет ${\displaystyle (n-2)}$-кратно транзитивной. При любом ${\displaystyle n}$, конечном или бесконечном, исключая ${\displaystyle n=4}$, эта группа проста, что играет важную роль в теории разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.