Множество Витали

Мно́жество Вита́ли, элементарный пример подмножества вещественной прямой, неизмеримого по Лебегу. Ограниченное множество ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} }$ называется множеством Витали, если оно имеет в точности один общий элемент с каждым классом эквивалентности относительно отношения эквивалентности на множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$, заданного правилом: ${\displaystyle x\sim y}$, если разность ${\displaystyle x-y}$ является рациональным числом. Данное условие равносильно следующему: для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ найдётся в точности один элемент ${\displaystyle v\in V}$, такой, что разность ${\displaystyle x-v}$ является рациональным числом (отсюда также следует, что разность любых двух различных элементов множества Витали – иррациональное число). Существование множества Витали ${\displaystyle V}$ в любом заданном отрезке ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a<b}$, вытекает из аксиомы выбора: оно получается выбором из каждого класса эквивалентности (который является всюду плотным в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ множеством) по одному элементу, принадлежащему отрезку ${\displaystyle [a,b]}$.</b<></math>

Пусть ${\displaystyle V\subset [0,1]}$ – множество Витали, а ${\displaystyle D}$ означает множество всех рациональных чисел, принадлежащих отрезку ${\displaystyle [-1,1]}$; для каждого ${\displaystyle r\in D}$ пусть ${\displaystyle V_{r}=V+r=\{v+r:v\in V\}}$; из свойств множества Витали легко следует, что семейство ${\displaystyle \{V_{r}\}_{r\in D}}$ состоит из попарно непересекающихся множеств и, кроме того, имеют место включения

${\displaystyle \displaystyle [0,1]\subset \bigcup _{r\in D}V_{r}\subset [-1,2]}$.

Пусть ${\displaystyle \mu }$ обозначает меру Лебега на прямой. Если ${\displaystyle V}$ измеримо, то из предыдущих включений, с учётом счётности множества ${\displaystyle D}$, следует, что

${\displaystyle \displaystyle 1\leqslant \sum _{r\in D}\mu (V_{r})\leqslant 3}$,

причём, в силу инвариантности меры Лебега относительно сдвигов, ${\displaystyle \mu (V_{r})=\mu (V)}$ для всех ${\displaystyle r\in D}$; отсюда легко выводится противоречие. Небольшая модификация приведённого рассуждения позволяет также доказать, что не только отрезок ${\displaystyle [0,1]}$, но и вообще любое подмножество прямой, имеющее положительную меру Лебега, содержит неизмеримое подмножество. Кроме того, построение множества Витали по существу доказывает следующее фундаментальное утверждение: не существует нетривиальной (т. е. не равной тождественно нулю) ${\displaystyle \sigma }$-аддитивной меры, определённой на всех ограниченных подмножествах вещественной прямой и инвариантной относительно сдвигов.

Всего существует ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ различных множеств Витали (здесь ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ обозначает мощность континуума).

Множество Витали названо в честь построившего его Дж. Витали (Vitali. 1905^[1]), который тем самым впервые доказал существование неизмеримых по Лебегу множеств. Существование таких множеств зависимо от аксиомы выбора: Р. Соловей (Solovay. 1970^[2]) построил, в предположении существования недостижимого кардинала, модель теории множеств (без аксиомы выбора), в которой все подмножества вещественной прямой измеримы по Лебегу.