Минимальный идеал

Минима́льный идеа́л, минимальный элемент частично упорядоченного множества идеалов определённого типа некоторой алгебраической системы. Поскольку порядок в множестве идеалов определяется отношением включения, минимальный идеал – идеал, не содержащий отличных от себя идеалов того же типа. Для мультиоператорных групп (в частности, для колец) и для решёток, в отличие от полугрупп, всегда предполагается, что рассматриваемое частично упорядоченное множество идеалов не содержит нулевого идеала. Если класс идеалов специально не оговорён, то под минимальным идеалом понимают минимальный элемент в множестве всех (ненулевых) двусторонних идеалов.

Минимальный двусторонний идеал, если такой существует в полугруппе ${\displaystyle S}$, будет единственным минимальным двусторонним идеалом и является наименьшим двусторонним идеалом; он называется ядром полугруппы ${\displaystyle S}$. Не всякая полугруппа обладает ядром (пример – бесконечная моногенная полугруппа), но, например, ядро есть у любой конечной полугруппы. Ядро является идеально простой полугруппой. Если ядро полугруппы ${\displaystyle S}$ есть группа, то ${\displaystyle S}$ называется гомогруппой. Полугруппа ${\displaystyle S}$ будет гомогруппой тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle S}$ существует элемент ${\displaystyle z}$, делящийся слева и справа на любой элемент из ${\displaystyle S}$ (т. е. ${\displaystyle z\in xS\cap Sx}$ для любого ${\displaystyle x\in S}$); в этом случае ядро состоит из всех таких элементов. Гомогруппой будет, например, всякая конечная коммутативная полугруппа.

Если полугруппа ${\displaystyle S}$ обладает минимальным левым идеалом ${\displaystyle L}$, то для любого ${\displaystyle x\in S}$ произведение ${\displaystyle Lx}$ также будет минимальным левым идеалом, причём всякий минимальный левый идеал может быть получен таким образом. Каждый минимальный левый идеал есть простая слева полугруппа. В полугруппе с минимальными левыми идеалами каждый левый идеал содержит некоторый минимальный левый идеал, объединение всех минимальных левых идеалов (которые попарно не пересекаются) является ядром полугруппы. Если полугруппа ${\displaystyle S}$ обладает минимальным левым идеалом ${\displaystyle L}$ и минимальным правым идеалом ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle R\cap L=RL}$ есть подгруппа в ${\displaystyle S}$, и ${\displaystyle L=Se}$, ${\displaystyle R=eS}$, где ${\displaystyle e}$ – единица этой подгруппы, произведение ${\displaystyle LR}$ совпадает с ядром полугруппы ${\displaystyle S}$, являющимся в этом случае вполне простой полугруппой.

Для полугрупп с нулём содержательным является рассмотрение ненулевых идеалов, и минимальный элемент в соответствующем частично упорядоченном множестве идеалов называется 0-минимальным (левым, правым, двусторонним) идеалом. Свойства 0-минимальных идеалов во многом повторяют свойства минимальных идеалов, с некоторыми естественными оговорками. Например, 0-минимальный двусторонний идеал не обязательно единствен и не обязательно будет 0-простой полугруппой; он может быть и полугруппой с нулевым умножением (см. Нильпотентная полугруппа). Объединение всех 0-минимальных левых идеалов (соответственно 0-минимальных правых идеалов) полугруппы с нулём называется её левым (соответственно правым) цоколем (по определению, цоколь равен нулю, если соответствующих 0-минимальных идеалов в полугруппе нет). Полугруппа совпадает со своими левым и правым цоколями тогда и только тогда, когда она есть 0-прямое объединение вполне 0-простых полугрупп и полугруппы с нулевым умножением.

Рассмотрение тех или иных минимальных идеалов и 0-минимальных идеалов играет существенную роль в структурной теории ряда важных классов полугрупп (см., например, Регулярная полугруппа, а также Клиффорд. 1972.^[1] § 2.5, 2.7, гл. 6, §§ 7.7, 8.2, 8.3; Ляпин. 1960.^[2] гл. V).

Кольца (как и полугруппы) не обязаны обладать минимальным идеалом (простейший пример – кольцо целых чисел), и минимальный идеал в кольце, если он существует, не обязан быть единственным. Сумма всех (левых, правых, двусторонних) минимальных идеалов кольца называется (соответственно левым, правым, двусторонним) цоколем кольца. Все артиновы кольца обладают ненулевым цоколем. Наличие минимальных идеалов в примитивном кольце делает его близким к матричному в следующем смысле: примитивное кольцо с ненулевым цоколем изоморфно некоторому плотному подкольцу кольца всех линейных преобразований некоторого векторного пространства над телом, содержащему все преобразования конечного ранга (Джекобсон. 1961^[3]).