Нильпотентная полугруппа

Нильпоте́нтная полугру́ппа, полугруппа ${\displaystyle S}$ с нулём, для которой существует такое ${\displaystyle n}$, что ${\displaystyle S^{n}=0}$; это эквивалентно выполнению в ${\displaystyle S}$ тождества

${\displaystyle x_{1}\ldots x_{n}=y_{1}\ldots y_{n}}$.

Наименьшее для данной полугруппы число ${\displaystyle n}$ c указанным свойством называется ступенью (иногда классом) нильпотентности нильпотентной полугруппы. Если ${\displaystyle S^{2}=0}$, то ${\displaystyle S}$ называется полугруппой с нулевым умножением. Следующие условия для полугруппы ${\displaystyle S}$ эквивалентны: 1) ${\displaystyle S}$ есть нильпотентная полугруппа; 2) ${\displaystyle S}$ обладает конечным аннуляторным рядом (т. е. возрастающим аннуляторным рядом конечной длины, см. Hильполугруппа); 3) существует такое ${\displaystyle k}$, что любая подполугруппа из ${\displaystyle S}$ может быть включена в идеальный ряд длины ${\displaystyle \leqslant k}$ полугруппы ${\displaystyle S}$.

Более широким является понятие нильпотентной полугруппы в смысле Мальцева (Мальцев. 1953^[1]). Так называется полугруппа, удовлетворяющая для некоторого ${\displaystyle n}$ тождеству

${\displaystyle X_{n}=Y_{n},}$

где слова ${\displaystyle X_{n}}$, ${\displaystyle Y_{n}}$ определяются по индукции следующим образом: ${\displaystyle {X}_{0}=x}$, ${\displaystyle Y_{0}=y}$, ${\displaystyle X_{n}=X_{n-1}u_{n}Y_{n-1}}$, ${\displaystyle Y_{n}=Y_{n-1}u_{n}X_{n-1}}$, ${\displaystyle x,y,u_{1},\ldots ,u_{n}}$ – переменные. Группа будет нильпотентной полугруппой в смысле Мальцева тогда и только тогда, когда она нильпотентна в обычном теоретико-групповом смысле (см. в статье Нильпотентная группа), причём выполнение тождества ${\displaystyle X_{n}=Y_{n}}$ эквивалентно тому, что ступень её нильпотентности ${\displaystyle \leqslant n}$. Всякая полугруппа с законом сокращения, удовлетворяющая тождеству ${\displaystyle X_{n}=Y_{n}}$, вложима в группу, удовлетворяющую тому же тождеству.