Метрика Хаусдорфа

Ме́трика Хаусдо́рфа (хаусдорфова метрика), метрика, определяемая на семействе всех ограниченных непустых замкнутых подмножеств метрического пространства. Более точно, пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ – метрическое пространство, ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ означает семейство всех его непустых ограниченных замкнутых подмножеств, а ${\displaystyle \rho (x,A)}$ означает расстояние от точки ${\displaystyle x\in X}$ до множества ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}(X)}$, т. е. ${\displaystyle \rho (x,A)=\inf\{\rho (x,a):a\in A\}}$. Формула

${\displaystyle \displaystyle \rho _{\mathrm {H} }(A,B)=\max \left\{\sup _{a\in A}\rho (a,B),\ \sup _{b\in B}\rho (b,A)\right\}}$

определяет метрику на множестве ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$; эта метрика и называется метрикой Хаусдорфа.

Величина ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }(A,B)}$ может быть определена эквивалентным образом как точная нижняя грань множества положительных чисел ${\displaystyle \varepsilon }$, таких, что каждое из двух множеств ${\displaystyle A,B}$ содержится в ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности другого, т. е.

${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }(A,B)=\inf\{\varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon }(B){\text{ и }}B\subset N_{\varepsilon }(A)\},}$

где ${\displaystyle N_{\varepsilon }(C)}$ означает ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность множества ${\displaystyle C\subset X}$:

${\displaystyle N_{\varepsilon }(C)=\{x\in X:\rho (x,C)<\varepsilon \}}$.

Кроме того, имеет место равенство

${\displaystyle \displaystyle \rho _{\mathrm {H} }(A,B)=\sup _{x\in X}\left|\rho (x,A)-\rho (x,B)\right|}$.

Величина ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }(A,B)}$ часто называется расстоянием Хаусдорфа между множествами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ изометрично замкнутому подпространству метрического пространства ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(X),\rho _{\mathrm {H} })}$, состоящему из одноточечных множеств; соответствующее изометрическое отображение ставит в соответствие каждой точке ${\displaystyle x\in X}$ одноточечное множество ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {C}}(X)}$.

Если ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ – две эквивалентные (т. е. порождающие одну и ту же топологию) метрики на множестве ${\displaystyle X}$, то в общем случае метрики ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }}$ и ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {H} }}$ могут порождать различные топологии на ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$; однако если ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ равномерно эквивалентны, то ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }}$ и ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {H} }}$ также равномерно эквивалентны (и, в частности, порождают одну и ту же топологию).

Имеет место следующая фундаментальная связь между метрическими пространствами ${\displaystyle (X,\rho )}$ и ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(X),\rho _{\mathrm {H} })}$:

• ${\displaystyle (X,\rho )}$ полно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(X),\rho _{\mathrm {H} })}$ полно;
• ${\displaystyle (X,\rho )}$ вполне ограничено тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(X),\rho _{\mathrm {H} })}$ вполне ограничено;
• ${\displaystyle (X,\rho )}$ компактно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(X),\rho _{\mathrm {H} })}$ компактно.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ – семейство всех непустых компактных подмножеств пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$, тогда ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)\subset {\mathcal {C}}(X)}$. Топология, индуцированная на ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ метрикой Хаусдорфа ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }}$, совпадает с топологией Вьеториса на ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$. В частности, если пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ компактно, то ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)={\mathcal {C}}(X)}$ и топология на ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ совпадает с топологией Вьеториса. В общем случае топология на ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$, порождённая метрикой ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }}$, несравнима с топологией Вьеториса (даже если пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$ вполне ограничено и сепарабельно).

Иногда в приложениях функционального анализа рассматривают обобщённую метрику Хаусдорфа, определяя её той же формулой на семействе всех непустых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$, допуская при этом, что величина ${\displaystyle \rho _{\mathrm {H} }(A,B)}$ может принимать значение ${\displaystyle +\infty }$.

Хаусдорфова метрика названа в честь определившего её Ф. Хаусдорфа (Hausdorff. 1914^[1]). Близкая конструкция появилась ранее у Д. Помпейю (Pompeiu. 1905), который исследовал сходимость, индуцированную метрикой

${\displaystyle \displaystyle \rho _{\mathrm {P} }(A,B)=\sup _{a\in A}\rho (a,B)+\sup _{b\in B}\rho (b,A)}$

на семействе всех ограниченных непустых замкнутых подмножеств плоскости; эта метрика равномерно эквивалентна метрике Хаусдорфа.