Метод тригонометрических сумм

Ме́тод тригонометри́ческих сумм, один из общих методов аналитической теории чисел. Две проблемы теории чисел потребовали для своего решения создание метода тригонометрических сумм: проблема распределения дробных долей многочлена и проблема представления натурального числа суммою слагаемых определённого вида (аддитивные проблемы теории чисел).

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ – действительная функция, ${\displaystyle x=1,2\dots ,P}$, ${\displaystyle P\to \infty }$; говорят, что дробные доли ${\displaystyle f(x)}$ распределены равномерно, если при любых ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle 0\leq \alpha <\beta <1}$, число ${\displaystyle \sigma }$ дробных долей ${\displaystyle f(x)}$, попадающих на интервал ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$, пропорционально длине этого интервала, т. е.

${\displaystyle \sigma =(\beta -\alpha )P+o(P)}$.

Пусть теперь ${\displaystyle \psi (x)}$ – характеристическая функция интервала ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$, т. е.

${\displaystyle \psi (x)=\left\{{\begin{aligned}&1,\quad {\text{если}}\ \alpha <x<b,\\&0,\quad {\text{если}}\ 0\leq x\leq \alpha ,\quad \beta \leq x\leq 1.\end{aligned}}\right.}$

Продолжая ${\displaystyle \psi (x)}$ периодически на всю прямую, т. е. полагая ${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)}$, имеют

${\displaystyle \sigma =\sum _{x=1}^{P}\psi (f(x))}$.

Разлагая ${\displaystyle \psi (x)}$ в ряд Фурье, находят

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }c(m)e^{2\pi imx},\quad c(0)=\beta -\alpha }$.

Тем самым

${\displaystyle \sigma =(\beta -\alpha )P+\sum _{m=-\infty ,\ m\neq 0}^{+\infty }c(m)\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi imf(x)}.}$ (1)

Последнее соотношение, вообще говоря, не верно, т. к. могут быть такие ${\displaystyle x}$, что ${\displaystyle \{f(x)\}=\alpha }$ или ${\displaystyle \{f(x)\}=\beta }$; но числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ можно заменить близкими ${\displaystyle \alpha '}$ и ${\displaystyle \beta '}$ и такими, что при всех ${\displaystyle x=1,2,\dots ,P}$, ${\displaystyle \{f(x)\}\neq \alpha '}$, ${\displaystyle \{f(x)\}\neq \beta '}$; от такой замены точность соотношения практически не изменится и оно станет верным. Точно так же функцию ${\displaystyle \psi (x)}$ можно так «сгладить» («подправить»), что величина ${\displaystyle \sigma }$ практически не изменится, а коэффициенты ${\displaystyle c(m)}$ ряда Фурье будут «быстро» убывать с ростом ${\displaystyle m}$, т. е. будет «быстро» сходиться ряд

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{+\infty }|c(m)|}$.

Второе слагаемое в равенстве (1) по абсолютной величине не превосходит ${\displaystyle \varkappa }$,

${\displaystyle \varkappa =\sum _{m=-\infty ,\,m\neq 0}^{+\infty }|c(m)|{\Big |}\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi imf(x)}{\Big |}}$.

Если известно, что

${\displaystyle |S|={\Big |}\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi imf(x)}{\Big |}\leq P\Delta ,}$ (2)

где ${\displaystyle \Delta =\Delta (P)\to 0}$ при ${\displaystyle P\to +\infty }$, то для ${\displaystyle \sigma }$ получают

${\displaystyle \sigma =(\beta -\alpha )P+o(P),\quad o(P)=cP\Delta }$,

т. е. дробные доли ${\displaystyle f(x)}$ распределены равномерно. Таким образом, надо уметь оценивать сверху модуль тригонометрической суммы. Так как каждое слагаемое в ${\displaystyle S}$ по модулю равно ${\displaystyle 1}$, то тривиальная оценка ${\displaystyle |S|}$ есть ${\displaystyle P}$, т. е. тривиальная оценка – это число слагаемых суммы ${\displaystyle S}$. Оценка вида (2) называется нетривиальной, если ${\displaystyle \Delta <1}$, а ${\displaystyle \Delta }$ называется понижающим множителем.

В задаче о дробных долях ${\displaystyle f(x)}$ за счёт сглаживания ${\displaystyle \psi (x)}$ можно добиться того, что оценку (2) надо получать для «небольшого» числа значений ${\displaystyle m}$, например для ${\displaystyle m}$ из промежутка ${\displaystyle 0<|m|<({\rm {ln}}\,P)^{A}}$, ${\displaystyle A>0}$ – некоторая постоянная.

Такой же подход применяется при выводе асимптотической формулы для суммы

${\displaystyle \sum _{x=1}^{P}\{f(x)\}}$,

которая возникает в задачах о числе целых точек в областях на плоскости и в пространстве.

В аддитивных проблемах теории чисел тригонометрические суммы появляются следующим образом.

При целом ${\displaystyle m}$ справедлива формула

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{2\pi i\alpha m}\,d\alpha =\left\{{\begin{aligned}&1,\quad {\text{если}}\ m=0,\\&0,\quad {\text{если}}\ m\neq 0.\end{aligned}}\right.}$

Поэтому, если через ${\displaystyle I(N)}$ обозначить число решений уравнения

${\displaystyle N=u_{1}+\dots +u_{k},\quad u_{\nu }\in U_{\nu },\quad \nu =1,\dots ,k}$,

где ${\displaystyle U_{\nu }}$ – некоторые подмножества натурального ряда чисел, то

${\displaystyle I(N)=\int _{0}^{1}S_{1}(\alpha )\dots S_{k}(\alpha )e^{-2\pi i\alpha N}\,d\alpha }$,

где

${\displaystyle S_{\nu }(\alpha )=\sum _{u_{\nu }\in U_{\nu }}e^{-2\pi i\alpha u_{\nu }},\quad \nu =1,\dots ,k}$.

Полагая, в частности, ${\displaystyle U_{\nu }=U=\{1^{n},2^{n},\dots \}}$, получают проблему Варинга; при ${\displaystyle k=3}$, ${\displaystyle U_{\nu }=U=\{2,3,5,7,11,\dots ,p,\dots \}}$ – тернарную проблему Гольдбаха и т. д. Как и в задаче о распределении дробных долей, главным вопросом здесь является вопрос об оценке сверху модуля ${\displaystyle S_{\nu }(\alpha )}$, т. е. вопрос о верхней грани ${\displaystyle |S_{\nu }(\alpha )|}$.

Тем самым широкий круг разнообразных проблем теории чисел формулируется единообразно на языке тригонометрических сумм.

Первая нетривиальная тригонометрическая сумма появилась у К. Ф. Гаусса (1811) в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов:

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi iF(x)},\quad F(x)={\frac {\alpha x^{2}}{P}}}$,

и Гаусс точно вычислил значение ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle S=\left\{{\begin{aligned}(1+i){\sqrt {P}},&\quad {\text{если}}\ P\equiv 0\ ({\rm {mod}}\ 4);\\{\sqrt {P}},&\quad {\text{если}}\ P\equiv 1\ ({\rm {mod}}\ 4);\\0,&\quad {\text{если}}\ P\equiv 2\ ({\rm {mod}}\ 4);\\i{\sqrt {P}},&\quad {\text{если}}\ P\equiv 3\ ({\rm {mod}}\ 4).\end{aligned}}\right.}$

Целый ряд независимых работ с применением тригонометрических сумм появился в начале 20 в.

Г. Вейль (1916), изучая распределение дробных долей многочлена

${\displaystyle f(x)=\alpha _{1}x+\dots +\alpha _{n}x^{n}}$

с действительными коэффициентами ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$, рассмотрел суммы ${\displaystyle S}$ с функцией ${\displaystyle F(x)}$ вида ${\displaystyle F(x)=mf(x)}$, ${\displaystyle m}$ – целое число, ${\displaystyle m\neq 0}$. И. М. Виноградов (1917) при изучении распределения целых точек в областях на плоскости и в пространстве рассмотрел суммы ${\displaystyle S}$ с функцией ${\displaystyle F(x)}$, от которой требовалось только, чтобы её 2-я производная удовлетворяла условиям

${\displaystyle {\frac {c_{1}}{A}}\leq F''(x)\leq {\frac {c_{2}}{A}}}$,

где ${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}}$ – некоторые абсолютные положительные постоянные, ${\displaystyle A=A(P)\to +\infty }$ при ${\displaystyle P\to +\infty }$. Г. Харди и Дж. Литлвуд (1918), получив приближённое функциональное уравнение дзета-функции Римана, рассмотрели сумму ${\displaystyle S}$ с функцией ${\displaystyle F(x)}$ вида

${\displaystyle F(x)=t\,{\rm {ln}}\,x}$,

где ${\displaystyle t}$ – действительный параметр, ${\displaystyle t=t(P)}$.

Во всех указанных работах требовалось найти возможно лучшую оценку сверху модуля суммы ${\displaystyle S}$.

Общая схема исследования названных проблем теории чисел методом тригонометрических сумм такова: выписывается точная формула, выражающая число решений изучаемого уравнения или число дробных долей изучаемой функции, попадающих на заданный интервал, или число целых точек в заданной области, в виде интеграла от тригонометрической суммы или в виде ряда, коэффициентами которого являются тригонометрические суммы; точная формула представляется суммою двух слагаемых – главного и дополнительного (например, если рассматривается ряд Фурье характеристической функции интервала, то главный член получается от нулевого коэффициента ряда Фурье); главное слагаемое доставляет главный член асимптотической формулы, дополнительное – остаточный член. В аддитивных задачах, таких как проблема Варинга, проблема Гольдбаха и других, главное слагаемое исследуется методом, близким к круговому методу Харди – Литлвуда – Рамануджана (этот метод называется круговым методом Харди – Литлвуда – Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова). В большинстве других задач (распределение дробных долей, целые точки в областях и др.) главный член получается тривиально. Теперь возникает проблема оценки остаточного члена, и если удаётся доказать, что он является величиной меньшего порядка, чем главный, то тем самым и доказывается асимптотическая формула.

Основной задачей при оценке остаточного члена является задача возможно более точных оценок тригонометрических сумм. О методах оценок тригонометрических сумм и оценках см. статьи Тригонометрическая сумма, Метод Виноградова.