Распределение дробных долей

Распределе́ние дро́бных доле́й, распределение в единичном интервале ${\displaystyle [0,1)}$ дробных долей ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$ последовательности действительных чисел ${\displaystyle \alpha _{j}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ . Последовательность дробных долей ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ , называется равномерно распределённой в интервале ${\displaystyle [0,1)}$, если для каждого интервала ${\displaystyle [a,b)\subset [0,1)}$ имеет место равенство

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}=b-a}$,

где ${\displaystyle \varphi _{n}(a,b)}$ – число первых ${\displaystyle n}$ членов ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$, ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant n}$, последовательности ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ , попавших в ${\displaystyle [a,b)}$. При этом последовательность чисел ${\displaystyle \alpha _{i}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ , называется равномерно распределённой по модулю 1.

Критерий Вейля (^[1]) для равномерно распределённых дробных долей: бесконечная последовательность дробных долей ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ , равномерно распределена в единичном интервале ${\displaystyle [0,1)}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f\left(\left\{\alpha _{j}\right\}\right)=\int _{0}^{1}f(x)\,dx}$

для любой интегрируемой по Риману на отрезке ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$ функции ${\displaystyle f(x)}$. Это утверждение эквивалентно следующему. Для того чтобы последовательность ${\displaystyle \alpha _{j}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ , была равномерно распределена по модулю 1, необходимо и достаточно, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi im\alpha _{j}}=0}$

для каждого целого ${\displaystyle m\neq }$0. Из критерия Вейля и его оценок тригонометрических сумм

${\displaystyle \sum _{x-1}^{p}e^{2\pi if(x)}}$

следует, что если хотя бы один из коэффициентов ${\displaystyle a_{s}}$, ${\displaystyle 1\leqslant s\leqslant k}$, многочлена

${\displaystyle f(x)=a_{k}x^{k}+\ldots +a_{1}x}$

иррационален, то последовательность дробных долей ${\displaystyle \left\{f(n)\right\}}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ , равномерно распределена в интервале ${\displaystyle [0,1)}$.

Понятию равномерного распределения дробных долей ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ , можно придать количественный характер, если ввести в рассмотрение величину

${\displaystyle D_{n}=\sup _{0\leqslant a<b\leqslant 1}\left|{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}-(b-a)\right|}$,

называемую отклонением первых ${\displaystyle n}$ членов последовательности ${\displaystyle \left\{\alpha _{j}\right\}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots }$ (^[2]; ^[3]).