Метод потенциалов

Ме́тод потенциа́лов, метод исследования краевых задач для уравнений математической физики путём сведения их к интегральным уравнениям, основанный на представлении решений этих задач в виде (обобщённых) потенциалов.

Пусть в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\leqslant 2}$, задано дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка эллиптического типа

${\displaystyle Lu\equiv \sum _{i,j=1}^{n}\left(a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}e_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=f(x)}$ (1)

с достаточно гладкими коэффициентами ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}=a_{ij}(x)}$, ${\displaystyle e_{i}=e_{i}(x)}$, ${\displaystyle c(x)\leqslant 0}$ и правой частью ${\displaystyle f(x)}$, причём ${\displaystyle c(x)<-k^{2}<0}$ вне некоторой ограниченной области, содержащей внутри область ${\displaystyle D}$ класса ${\displaystyle C^{1}}$. Тогда любое решение ${\displaystyle u(x)}$ уравнения (1) класса ${\displaystyle C^{2}(D\cup S)}$ можно представить в виде суммы трёх (обобщённых) потенциалов: потенциала объёмных масс

${\displaystyle \int _{D}E(x,y)\,\rho (y)\,dy,}$ (2)

потенциала простого слоя

${\displaystyle \int _{S}E(x,y)\,\sigma (y)\,ds_{y}}$ (3)

и потенциала двойного слоя

${\displaystyle \int _{S}Q_{y}[E(x,y)]\,\mu (y)\,ds_{y},}$ (4)

где ${\displaystyle S=\partial D}$ – граница области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E(x,y)}$ – главное фундаментальное решение оператора ${\displaystyle L}$, символ ${\displaystyle Q_{y}}$ обозначает оператор

${\displaystyle Q_{y}v=a{\frac {\partial v}{\partial N}}-bv,}$

действующий в точке ${\displaystyle y\in S}$, ${\displaystyle N}$ – единичный вектор конормали в точке ${\displaystyle y\in S}$,

${\displaystyle a^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\cos(\nu ,y_{j})\right)^{2},}$

${\displaystyle b=\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cos(\nu ,y_{i}),}$

${\displaystyle \nu }$ – единичный вектор внешней нормали к ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle y\in S}$. Плотности потенциалов ${\displaystyle \rho (y)}$, ${\displaystyle \sigma (y)}$ и ${\displaystyle \mu (y)}$ – достаточно гладкие функции на ${\displaystyle D}$ или ${\displaystyle S}$.

Для потенциалов (2)–(4) остаются в силе, с соответствующими изменениями, все дифференциальные и граничные свойства гармонических потенциалов, описанные в статье Теория потенциала для случая, когда ${\displaystyle L}$ – оператор Лапласа. На основании этих свойств удаётся свести краевые задачи для эллиптических уравнений типа (1) к интегральным уравнениям, аналогично тому, как это было описано для задач Дирихле и Неймана для гармонических функций в статье «Теория потенциала».