Линия погони

Ли́ния пого́ни, кривая, являющаяся решением задачи о погоне, которая ставится следующим образом. По прямой ${\displaystyle Ox}$ с постоянной скоростью ${\displaystyle a>0}$ движется точка ${\displaystyle P}$; в плоскости ${\displaystyle Oxy}$ движется точка ${\displaystyle M(x,y)}$ с постоянной по модулю скоростью так, что вектор скорости точки ${\displaystyle M}$ всегда направлен в точку ${\displaystyle P}$; траектория точки ${\displaystyle M}$ называется линией погони (рисунок). Дифференциальное уравнение линии погони имеет вид

${\displaystyle y''={\frac {a}{v}}{\frac {y'^{2}}{y}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$,

где ${\displaystyle v}$ – модуль скорости точки ${\displaystyle M}$. Решение этого уравнения даёт следующую связь между координатами точек линии погони

${\displaystyle x={\frac {y_{0}}{2(1+a/v)}}\left[\left({\frac {y}{y_{0}}}\right)^{1+a/v}-1\right]-{\frac {y_{0}}{2(1-a/v)}}\left[\left({\frac {y}{y_{0}}}\right)^{1-a/v}-1\right]+x_{0}}$

при ${\displaystyle v\neq a}$ и

${\displaystyle x={\frac {y_{0}}{4}}\left[\left({\frac {y}{y_{0}}}\right)^{2}-1\right]-{\frac {y_{0}}{2}}\ln {\frac {y}{y_{0}}}+x_{0}}$

при ${\displaystyle v=a}$, где ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ – координаты точки ${\displaystyle M}$ в начальный момент времени, а точка ${\displaystyle P}$ имеет в этот момент координаты ${\displaystyle x_{0},0}$. Если ${\displaystyle v>a}$, то ${\displaystyle y}$ убывает от ${\displaystyle y_{0}}$ до ${\displaystyle 0}$, когда ${\displaystyle x}$ возрастает от ${\displaystyle x_{0}}$ до ${\displaystyle x_{1}=x_{0}+y_{0}{\frac {av}{v^{2}-a^{2}}}}$, т. е. точка ${\displaystyle M}$ догоняет точку ${\displaystyle P}$ при ${\displaystyle x=x_{1}}$. В этом случае длина линии погони равна ${\displaystyle y_{0}v^{2}/(v^{2}-a^{2})}$ и точка ${\displaystyle M}$ догоняет точку ${\displaystyle P}$ за время ${\displaystyle T=y_{0}v/(v^{2}-a^{2})}$ (продолжительность погони). При ${\displaystyle v\leqslant a}$ точка ${\displaystyle M}$ не догоняет точку ${\displaystyle P}$. Известно обобщение задачи о погоне на случай, когда точка ${\displaystyle P}$ движется по кривой линии.

Задача о линии погони была поставлена Леонардо да Винчи, решена П. Бугером (1732).