Лагранжево многообразие

Лагра́нжево многообра́зие, лагранжево подмногообразие, изотропное подмногообразие максимальной размерности в симплектическом многообразии.

Пусть ${\displaystyle M}$ – симплектическое многообразие, т. е. гладкое ${\displaystyle 2n}$-мерное многообразие, снабжённое симплектической структурой – замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой ${\displaystyle \omega ^{2}}$. Подмногообразие ${\displaystyle L\subset M}$ размерности ${\displaystyle n}$ называется изотропным, если ${\displaystyle j^{*}\omega ^{2}=0}$, где ${\displaystyle j}$ – вложение ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle M}$. Таким образом, лагранжево многообразие – это изотропное многообразие максимальной размерности. Пусть ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ – локальные координаты на ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle (q_{1},\dots ,q_{n},p_{1},\dots ,p_{n})}$ – координаты Дарбу на ${\displaystyle M}$, в которых симплектическая структура имеет вид

${\displaystyle \omega ^{2}=dp_{1}\wedge dq_{1}+\dots +dp_{n}\wedge dq_{n}}$.

Пусть вложение ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle M}$ задаётся в этих координатах формулами

${\displaystyle q_{m}=Q_{m}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),\quad p_{m}=P_{m}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),\quad m=1,\dots ,n}$.

Тогда условие лагранжевости записывается как равенство нулю скобок Лагранжа:

${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{m=1}^{n}{\left({\frac {\partial {{P}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{s}}}}{\frac {\partial {{Q}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{r}}}}-{\frac {\partial {{P}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{r}}}}{\frac {\partial {{Q}_{m}}}{\partial {{\alpha }_{s}}}}\right)}=0,\qquad s,r=1,\ldots ,n}$.

Примером лагранжева многообразия является график градиента функции: если ${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{n})}$ – гладкая вещественная функция ${\displaystyle n}$ переменных, то множество в пространстве ${\displaystyle R^{2n}}$ с координатами ${\displaystyle (q_{1},\dots ,q_{n},p_{1},\dots ,p_{n})}$, задаваемое формулами

${\displaystyle {{p}_{j}}={\dfrac {\partial S}{\partial {{q}_{j}}}}({{q}_{1}},\ldots ,{{q}_{n}}),\qquad j=1,\ldots ,n}$,

представляет собой лагранжево многообразие. В действительности это общий случай: лемма о локальных координатах утверждает: если ${\displaystyle L\subset M}$ – лагранжево многообразие, ${\displaystyle \alpha _{*}\in L}$ – произвольная точка и ${\displaystyle (q_{1},\dots ,q_{n},p_{1},\dots ,p_{n})}$ – координаты Дарбу на ${\displaystyle M}$ в окрестности точки ${\displaystyle \alpha _{*}}$, то существует перестановка ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}$ чисел ${\displaystyle (1,\ldots ,n)}$ и число ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ такие, что набор функций ${\displaystyle (q_{i_{1}},\dots ,q_{i_{k}},p_{i_{k+1}},\dots ,p_{i_{n}})}$ представляет собой систему координат на ${\displaystyle L}$ в окрестности точки ${\displaystyle \alpha _{*}}$ и многообразие ${\displaystyle L}$ задаётся в этой окрестности формулами

${\displaystyle p_{i_{s}}={\dfrac {\partial S}{\partial q_{s}}}(q_{i_{1}},\dots ,q_{i_{k}},p_{i_{k+1}},\dots ,p_{i_{n}}),\quad s=1,\dots ,k}$,

${\displaystyle q_{i_{s}}=-{\dfrac {\partial S}{\partial p_{s}}}(q_{i_{1}},\dots ,q_{i_{k}},p_{i_{k+1}},\dots ,p_{i_{n}}),\quad s=k+1,\dots ,n}$,

где ${\displaystyle S({q_{i_{1}}},\ldots ,{q_{i_{k}}},{p_{i_{k+1}}},\ldots ,{p_{i_{n}}})}$ – гладкая вещественная функция, называемая производящей функцией лагранжева многообразия ${\displaystyle L}$.

Лагранжевы многообразия играют важную роль в теории квазиклассических асимптотик, где они выступают в качестве волновых фронтов быстроосциллирующих функций.