Изотропное многообразие

Изотро́пное многообра́зие, изотропное подмногообразие, в симплектическом многообразии – подмногообразие, на котором равен нулю обратный образ симплектической формы.

Пусть ${\displaystyle M}$– симплектическое многообразие, т. е. гладкое ${\displaystyle 2n}$-мерное многообразие, снабжённое симплектической структурой – замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой ${\displaystyle \omega ^{2}}$. Подмногообразие ${\displaystyle L\subset M}$ называется изотропным, если ${\displaystyle j^{*}\omega ^{2}=0}$, где ${\displaystyle j}$ – вложение ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle M}$. Размерность изотропного подмногообразия не превышает ${\displaystyle n}$; одномерное подмногообразие всегда изотропно; изотропное подмногообразие максимальной размерности ${\displaystyle n}$ называется лагранжевым многообразием. Пусть ${\displaystyle ({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}})}$, ${\displaystyle k=\dim L\leq n}$, – локальные координаты на ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle (q_{1},\dots ,q_{n},p_{1},\dots ,p_{n})}$ – координаты Дарбу на ${\displaystyle M}$, в которых симплектическая структура имеет вид:

${\displaystyle \omega ^{2}=dp_{1}\wedge dq_{1}+\dots +dp_{n}\wedge dq_{n}}$.

Пусть вложение ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle M}$ задаётся в этих координатах формулами:

${\displaystyle {{q}_{m}}={{Q}_{m}}({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}),\quad {{p}_{m}}={{P}_{m}}({{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{k}}),\quad m=1,\ldots ,n}$.

Тогда условие изотропности записывается как равенство нулю скобок Лагранжа:

${\displaystyle \displaystyle \sum _{m=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial P_{m}}{\partial \alpha _{s}}}{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \alpha _{r}}}-{\frac {\partial P_{m}}{\partial \alpha _{r}}}{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \alpha _{s}}}{\biggr )}=0,\quad s,r=1,\dots ,k}$.