Критерий Коши

Крите́рий Коши́, общее название нескольких аналогичных друг другу критериев сходимости последовательностей, рядов и интегралов.

1. Критерий Коши сходимости числовой последовательности: для того чтобы последовательность чисел (действительных или комплексных) ${\displaystyle x_{n}}$, ${\displaystyle n=1,2,..}$., имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовал такой номер ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n\geqslant N}$ и ${\displaystyle m\geqslant N}$ выполнялось неравенство

${\displaystyle \left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon }$.

Критерий Коши сходимости числовой последовательности обобщается в критерий сходимости точек полного метрического пространства.

Последовательность точек ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ полного метрического пространства сходится в том и только в том случае, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n\geqslant N}$ и ${\displaystyle m\geqslant N}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon }$.

2. Критерий Коши существования предела функций ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle (n\geqslant 1)}$. Пусть функция ${\displaystyle f}$ определена на множестве ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle R^{n}}$ и принимает числовые (действительные или комплексные) значения, ${\displaystyle a}$ – предельная точка множества ${\displaystyle X}$ (или символ ${\displaystyle \infty }$, в этом случае множество ${\displaystyle X}$неограниченно). Конечный предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow a,\ x\in X}f(x)}$ существует тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдется такая окрестность ${\displaystyle U=U(a)}$ точки ${\displaystyle a}$, что для любых ${\displaystyle x'\in U\cap X}$и ${\displaystyle x''\in U\cap X}$выполняется неравенство

${\displaystyle \left|f(x')-f(x'')\right|<\varepsilon }$.

Этот критерий обобщается на более общие отображения: пусть ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство, ${\displaystyle a}$ – его предельная точка, в которой выполняется первая аксиома счётности, ${\displaystyle Y}$ – полное метрическое пространство и ${\displaystyle f}$ – отображение ${\displaystyle X}$в ${\displaystyle Y}$. Для того чтобы существовал предел

${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)}$,

необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовала окрестность ${\displaystyle U=U(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ такая, что для всех ${\displaystyle x'\in U}$ и ${\displaystyle x''\in U}$ выполнялось неравенство

${\displaystyle \rho \left(f(x'')-f(x')\right)<\varepsilon }$.

3. Критерий Коши равномерной сходимости семейства функций. Пусть ${\displaystyle X}$ – некоторое множество, ${\displaystyle Y}$ – топологическое пространство, удовлетворяющее в предельной точке ${\displaystyle y_{0}\in Y}$первой аксиоме счётности, ${\displaystyle R}$ – полное метрическое пространство, ${\displaystyle f(x,y)}$ – отображение множества ${\displaystyle X\times Y}$в ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle y\in Y}$. Семейство отображений ${\displaystyle f(x,y)}$, отображающих при фиксированном ${\displaystyle y\in Y}$ множество ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle R}$, является равномерно сходящимся на ${\displaystyle X}$ при ${\displaystyle y\rightarrow y_{0}}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая окрестность ${\displaystyle U=U(y_{0})}$ точки ${\displaystyle y_{0}}$, что для всех ${\displaystyle y'\in U}$, ${\displaystyle y''\in U}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \rho (f(x,y''),f(x,y'))<\varepsilon }$.

В частности, если ${\displaystyle Y}$– множество натуральных чисел и ${\displaystyle f_{n}(x)=f(x,n)}$, то последовательность ${\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}}$ равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle x\in X}$и всех номеров ${\displaystyle n\geqslant N}$ и ${\displaystyle m\geqslant N}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon }$.

4. Критерий Коши сходимости ряда: числовой ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{x=1}^{\infty }u_{n}}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n\geqslant N}$и всех целых ${\displaystyle p\geqslant 0}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{p}u_{n+k}\right|<\varepsilon }$.

Для кратных рядов аналогичный критерий сходимости называется критерием Коши – Штольца. Например, для того чтобы двойной ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n,\,m=1}^{\infty }u_{nm}}$ сходился по прямоугольным частичным суммам

${\displaystyle S_{nm}=\sum \limits _{k=1}^{n}\sum \limits _{l=1}^{m}u_{kl}}$,

необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ нашлось такое ${\displaystyle N}$, что при всех ${\displaystyle n\geqslant N}$, ${\displaystyle m\geqslant N}$ и всех целых ${\displaystyle {\text{р}}\geqslant 0}$ и ${\displaystyle q\geqslant 0}$ выполнялось неравенство

${\displaystyle \left|S_{n+p,m+q}-S_{nm}\right|<\varepsilon }$.

Эти критерии обобщаются на ряды в банаховых пространствах (вместо абсолютной величины берутся нормы соответствующих элементов).

5. Критерий Коши равномерной сходимости ряда: пусть ${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x)}$, ${\displaystyle n=1,2,..}$., – функции, определенные на некотором множестве ${\displaystyle X}$ и принимающие числовые значения. Для того чтобы ряд

${\displaystyle \sum \limits _{m=1}^{\infty }u_{n}(x)}$

равномерно сходился на множестве ${\displaystyle X}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовал такой номер ${\displaystyle N}$, что для всех ${\displaystyle n\geqslant N}$, целых ${\displaystyle p\geqslant 0}$ и ${\displaystyle x\in X}$ выполнялось неравенство

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=1}^{p}u_{m+k}(x)\right|<\varepsilon }$.

Этот критерий также переносится на кратные ряды, причем не только на числовые, но и на ряды, члены которых принадлежат банаховым пространствам, т. е. когда ${\displaystyle u_{n}(x)}$ являются отображениями множества ${\displaystyle X}$ в некоторое банахово пространство.

6. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов: пусть функция ${\displaystyle f}$ определена на полуинтервале ${\displaystyle [a,b)}$, ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$, принимает на нем числовые значения и при любом ${\displaystyle c\in (a,b)}$ интегрируема (по Риману или по Лебегу) на отрезке ${\displaystyle [a,c]}$. Для того чтобы несобственный интеграл

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовало такое ${\displaystyle \eta \in (a,b)}$, что для всех ${\displaystyle \eta '}$ и ${\displaystyle \eta ''}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \eta <\eta '<b}$, ${\displaystyle \eta <\eta ''<b}$, выполнялось неравенство</b<></math>

${\displaystyle \left|\int \limits _{\eta '}^{\eta ''}f(x)dx\right|<\varepsilon }$.

Аналогичным образом критерий формулируется и для несобственных интегралов других типов, а также обобщается на случай, когда функция ${\displaystyle f}$ зависит от нескольких переменных и ее значения лежат в банаховом пространстве.

7. Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов: пусть функция ${\displaystyle f(x,y)}$ при каждом фиксированном ${\displaystyle y\in Y}$, где ${\displaystyle Y}$ – некоторое множество, определена на полуинтервале ${\displaystyle [a,b)}$, ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$, принимает числовые значения и при любом ${\displaystyle c\in (a,b)}$ интегрируема по ${\displaystyle x}$ на отрезке ${\displaystyle [a,c]}$. Для того чтобы интеграл

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx,\quad y\in Y}$,

равномерно сходился на множестве ${\displaystyle Y}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ нашлось такое ${\displaystyle \eta \in (a,b)}$, что для любых ${\displaystyle \eta '}$ и ${\displaystyle \eta ''}$, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle \eta <\eta '<b}$, ${\displaystyle \eta <\eta ''<b}$ и всех ${\displaystyle y\in Y}$, выполнялось неравенство</b<></math></b<></math>

${\displaystyle \left|\int \limits _{\eta '}^{\eta ''}f(x,y)dx\right|<\varepsilon }$.

Этот критерий также переносится на несобственные интегралы других типов, на случай функций многих переменных и на функции, значения которых лежат в банаховых пространствах.