Когомологическая размерность

Когомологи́ческая разме́рность. 1. Когомологическая размерность ${\displaystyle (\dim _{G}X)}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ относительно группы коэффициентов ${\displaystyle G}$ – максимальное целое число ${\displaystyle p}$, для которого в ${\displaystyle X}$ найдутся замкнутые подмножества ${\displaystyle A}$ такие, что когомологии ${\displaystyle H^{p}(X,A;G)}$ отличны от нуля. Аналогично определяется гомологическая размерность ${\displaystyle h\dim _{G}X}$. Конечная лебегова размерность совпадает c ${\displaystyle \dim _{G}}$ (c ${\displaystyle h\dim _{G})}$, если ${\displaystyle G}$ – целые числа (приведённые по модулю ${\displaystyle 1}$ действительные числа). В евклидовом пространстве ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ равенство ${\displaystyle \dim _{G}X=p}$ равносильно тому, что ${\displaystyle X}$ локально зацепляется ${\displaystyle (n-p-1)}$–мерными циклами (с коэффициентами в ${\displaystyle G}$). Для паракомпактных пространств ${\displaystyle X}$ неравенство ${\displaystyle \dim _{G}X\leqslant p}$ равносильно существованию мягких резольвент для ${\displaystyle G}$ длины ${\displaystyle p}$. Поскольку мягкие пучки ацикличны, этим устанавливается связь с общим определением размерности в гомологической алгебре, например инъективная (проективная) размерность модуля ${\displaystyle \leqslant p}$, если он обладает инъективными (проективными) резольвентами длины ${\displaystyle p}$; глобальная размерность кольца есть максимум инъективных (проективных) размерностей модулей над кольцом и является аналогом лебеговой размерности ${\displaystyle X}$.

2. Когомологическая размерность схемы – аналог понятия когомологической размерности топологического пространства для алгебраического многообразия или схемы с выбранной теорией когомологий на них. Пусть ${\displaystyle X}$ – алгебраическое многообразие или нётерова схема размерности ${\displaystyle n}$. Когомологической размерностью схемы ${\displaystyle X}$ называется целое число ${\displaystyle \mathrm {cd} (X)}$, равное нижней грани тех ${\displaystyle i}$, для которых ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {F}})=0}$ для всех абелевых пучков на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ при ${\displaystyle j>i}$. Справедливо неравенство

${\displaystyle \mathrm {cd} (X)\leqslant n}$.

Когерентной когомологической размерностью схемы ${\displaystyle X}$ называется число ${\displaystyle \mathrm {cohcd} (X)}$, равное нижней грани тех ${\displaystyle i}$, для которых ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {F}})=0}$ для всех когерентных алгебраических пучков ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ при ${\displaystyle j>i}$. В силу определения ${\displaystyle \mathrm {cohcd} (X)\leqslant \mathrm {cd} (X)}$. По теореме Серра ${\displaystyle \mathrm {cohcd} (X)=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ – аффинная схема. С другой стороны, если ${\displaystyle X}$ – алгебраическое многообразие над полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle \mathrm {cohcd} (X)=n}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ собственно над ${\displaystyle k}$ (теорема Лихтенбаума) (Hartshorne. 1970^[1]).

Пусть ${\displaystyle X}$ – собственная схема над полем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle Y}$ – её замкнутая подсхема коразмерности ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle U=X-Y}$. Тогда имеют место следующие утверждения (Hartshorne. 1968^[2]; 1970; 1971).

Если ${\displaystyle Y}$ – теоретико-множественное полное пересечение обильных дивизоров на ${\displaystyle X}$, то

${\displaystyle \mathrm {cohcd} (U)\leqslant d-1}$;

если ${\displaystyle X}$ – проективное многообразие Коэна – Маколея (например, неособое проективное многообразие) и ${\displaystyle Y}$ нульмерно, то ${\displaystyle \mathrm {cohcd} (U)=n-1}$. Условие ${\displaystyle \mathrm {cohcd} (U)\leqslant n-2}$ равносильно тому, что ${\displaystyle Y}$ связно. Если ${\displaystyle X=P^{n}}$ – проективное пространство, а ${\displaystyle Y}$ связно и имеет размерность ${\displaystyle \geqslant 1}$, то

${\displaystyle \mathrm {cohcd} (U)<n-1}$.

Если ${\displaystyle X}$ – алгебраическое комплексное многообразие, то можно рассматривать гомологическую размерность соответствующего топологического пространства ${\displaystyle X(C)}$. В общем случае, когда ${\displaystyle X}$ – нётерова схема, аналогом гомологической размерности является понятие этальной когомологической размерности схемы ${\displaystyle X}$. Точнее, пусть ${\displaystyle X_{et}}$ – этальная топология Гротендика схемы ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle l}$ – простое число. Когомологической ${\displaystyle l}$–размерностью схемы ${\displaystyle X}$ (или этальной когомологической размерностью) называется число ${\displaystyle \mathrm {cd} _{l}(X)}$, равное нижней грани тех ${\displaystyle i}$, для которых ${\displaystyle H^{j}\left(X_{et},{\mathcal {F}}\right)=0}$ для всех ${\displaystyle l}$–периодических абелевых пучков ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X_{et}}$ при ${\displaystyle j>i}$. Если ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ – аффинная схема, то ${\displaystyle \mathrm {cd} _{l}(\operatorname {Spec} A)}$ называется также когомологической размерностью кольца ${\displaystyle A}$. В частности, если ${\displaystyle A}$ – поле, то понятие ${\displaystyle \mathrm {cd} _{l}(A)}$ совпадает с понятием когомологической размерности поля, которое изучается в теории когомологий Галуа.</n-1<></math>

Если ${\displaystyle X}$ – алгебраическое многообразие размерности ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle l\neq \operatorname {char} k}$, то ${\displaystyle \mathrm {cd} _{l}(X)\leqslant 2n+cd_{l}(k)}$. В частности, если ${\displaystyle k}$ – сепарабельно замкнутое поле, то ${\displaystyle \mathrm {cd} _{l}(X)\leqslant 2n}$. Если ${\displaystyle X}$ – аффинное алгебраическое многообразие над сепарабельно замкнутым полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle \mathrm {cd} _{l}(X)\leqslant \dim X}$.

Пусть ${\displaystyle k}$ – поле конечной характеристики ${\displaystyle p}$, тогда для любой нётеровой схемы ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ имеет место неравенство

${\displaystyle \mathrm {cd} _{p}(X)\leqslant \mathrm {cohcd} (X)+1}$.

В частности, для любого нётерова коммутативного кольца ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathrm {cd} _{p}(A)\leqslant 1}$.

Если ${\displaystyle X}$ – квазипроективное алгебраическое многообразие над сепарабельно замкнутым полем ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle \mathrm {cd} _{p}(X)\leqslant \dim X}$, где ${\displaystyle p}$ – характеристика ${\displaystyle k}$.