Размерность Лебега

Разме́рность Лебе́га, размерность, определённая посредством покрытий; важнейший размерностный инвариант ${\displaystyle \operatorname {dim} X}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$, открытый А. Лебегом (1911). Он высказал гипотезу, что ${\displaystyle \operatorname {dim} I^{n}=n}$ для n-мерного куба ${\displaystyle I^{n}}$. Л. Брауэр (1913) впервые доказал это, а также более сильное тождество: ${\displaystyle \operatorname {dim} I^{n}=\operatorname {Ind} I^{n}=n}$. Точное определение инварианта ${\displaystyle \operatorname {dim} X}$ (для класса метрических компактов) дал П. С. Урысон, доказавший для пространств ${\displaystyle X}$ этого класса тождество

${\displaystyle \operatorname {dim} X=\operatorname {ind} X=\operatorname {Ind} X}$

(тождество Урысона в теории размерности), распространённое на класс всех сепарабельных метрических пространств в 1925 г. В. Гуревичем и Л. А. Тумаркиным.

Для компактов ${\displaystyle X}$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число ${\displaystyle n}$, обладающее тем свойством, что при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечное открытое ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытие компакта ${\displaystyle X}$, имеющее кратность ${\displaystyle \leqslant n+1}$; при этом ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр ${\displaystyle <\varepsilon }$, a кратностью конечного покрытия пространства ${\displaystyle X}$ называется наибольшее такое целое число ${\displaystyle k}$, что существует точка пространства ${\displaystyle X}$, содержащаяся в ${\displaystyle k}$ элементах данного покрытия. Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства ${\displaystyle X}$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия ${\displaystyle \omega }$ пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное в него конечное открытое покрытие ${\displaystyle \alpha }$ кратности ${\displaystyle n+1}$. При этом покрытие ${\displaystyle \alpha }$ называется вписанным в покрытие ${\displaystyle \omega }$, если каждый элемент покрытия ${\displaystyle \alpha }$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\displaystyle \omega }$.