Когомологии де Рама

Когомоло́гии де Ра́ма (когомологии Рама) алгебраического многообразия, теория когомологий алгебраических многообразий, основанная на дифференциальных формах. C каждым алгебраическим многообразием ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle k}$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм; его группы когомологий ${\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{p}(X/k)}$ называются группами когомологий де Рама многообразия ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle X}$ гладко и полно, а ${\displaystyle \operatorname {char} k=0}$, то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля (см. Hartshorne. 1970, 1972). Если ${\displaystyle X}$ гладко и аффинно, а ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:

${\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}\left(X^{\text{an}},\mathbb {C} \right),\quad p\geqslant 0,}$

где ${\displaystyle X^{\text{an}}}$ – комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию ${\displaystyle X}$ (cм. Grothendieck. 1966). Например, если ${\displaystyle X}$ – дополнение к алгебраической гиперповерхности в ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$, то когомологии ${\displaystyle H^{p}(X,\mathbb {C} )}$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на ${\displaystyle P^{n}(\mathbb {C} )}$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Для любого морфизма ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ можно определить относительный комплекс де Рама ${\displaystyle \sum _{p\geqslant 0}\Gamma \left(\Omega _{X/{S}}^{0}\right)}$ (см. Модуль дифференциалов), приводящий к относительным когомологиям де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{p}(X/S)}$. В случае, когда ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ и ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} B}$ аффинны, относительный комплекс де Рама совпадает с ${\displaystyle \Lambda \Omega _{A/B}^{1}}$. Когомологии ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {DR} }^{p}(X/S)}$ комплекса пучков ${\displaystyle \sum _{p\geqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}}$ на ${\displaystyle S}$ называются пучками относительных когомологий де Рама. Эти пучки когерентны на ${\displaystyle S}$, если ${\displaystyle f}$ – собственный морфизм.