Когомологии Вейля

Когомоло́гии Ве́йля, когомологии алгебраических многообразий с коэффициентами в поле нулевой характеристики, обладающие формальными свойствами, необходимыми для получения формулы Лефшеца для числа неподвижных точек. Необходимость такой теории была высказана А. Вейлем (Weil. 1949), показавшим, что рациональность дзета-функций многообразия и ${\displaystyle L}$-функций многообразия над конечным полем следует из формулы Лефшеца, а остальные гипотезы о ${\displaystyle \zeta }$-функции естественно формулируются в когомологических терминах. Пусть многообразие ${\displaystyle X}$ есть связная гладкая проективная схема над фиксированным алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$ и пусть ${\displaystyle K}$ – некоторое поле характеристики ${\displaystyle 0}$. Тогда когомологиями Вейля с полем коэффициентов ${\displaystyle K}$ называется контравариантный функтор ${\displaystyle X\to H^{*}(X)}$ из категории многообразий в категорию конечномерных градуированных антикоммутативных ${\displaystyle K}$-алгебр, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Если ${\displaystyle n=\dim X}$, то ${\displaystyle H^{2n}(X)}$ изоморфно ${\displaystyle K}$, и отображение

${\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X),}$

определённое умножением в ${\displaystyle H^{*}(X)}$, невырождено при всех ${\displaystyle i}$.

2) ${\displaystyle H^{*}(X)\otimes _{K}H^{*}(Y){\widetilde {\rightarrow }}H^{*}(X\times Y)}$ (формула Кюннета).

3) Отображение циклов. Существует функториальный гомоморфизм ${\displaystyle \gamma _{X}}$ группы ${\displaystyle C^{p}(X)}$ алгебраических циклов ${\displaystyle X}$ коразмерности ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle H^{2p}(X)}$, переводящий прямое произведение циклов в тензорное произведение, и нетривиальный в том смысле, что (для точки ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \gamma _{P}}$ превращается в каноническое вложение ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в ${\displaystyle K}$.

${\displaystyle b_{i}(X)=\dim _{K}H^{i}(X)}$

называется ${\displaystyle i}$-м числом Бетти многообразия ${\displaystyle X}$.

Примеры. Если ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, то классические когомологии комплексных многообразий с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ являются когомологиями Вейля. Если ${\displaystyle l}$ – простое число, отличное от характеристики поля ${\displaystyle k}$, то этальные ${\displaystyle l}$-адические когомологии

${\displaystyle X\mapsto [\lim _{\nu }H_{\mathrm {et} }^{*}(X,\mathbb {Z} /l^{\nu }\,\mathbb {Z} ]\otimes _{\mathbb {Z} _{l}}Q_{l}}$

являются когомологиями Вейля с коэффициентами в поле ${\displaystyle Q_{l}}$. Для когомологий Вейля верна формула Лефшеца

${\displaystyle \langle u\cdot \Delta \rangle =\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\;\mathrm {Tr} (u_{i}),}$

где ${\displaystyle \langle u\cdot \Delta \rangle }$ – индекс пересечения в ${\displaystyle X\times X}$ графика ${\displaystyle \Gamma }$ морфизма ${\displaystyle u}$ с диагональю ${\displaystyle \Delta \subset X\times X}$, интерпретируемый также как число неподвижных точек эндоморфизма ${\displaystyle u}$, а ${\displaystyle \mathrm {Tr} (u_{i})}$ – след эндоморфизма ${\displaystyle u_{i}}$, являющегося ограничением и на ${\displaystyle H^{i}(X)}$. Более того, эта формула верна также для соответствий, т. е. элементов ${\displaystyle u\in H^{2n}(X\times X)}$.