Проективная схема

Проекти́вная схе́ма, замкнутая подсхема проективного пространства ${\displaystyle P_{k}^{n}}$; в однородных координатах ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ на ${\displaystyle P_{k}^{n}}$ проективная схема задаётся системой однородных алгебраических уравнений:

${\displaystyle f_{1}\left(x_{0},\ldots ,x_{n}\right)=0,\ldots ,f_{r}\left(x_{0},\ldots ,x_{n}\right)=0}$.

Каждая проективная схема является полной (компактной в случае ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$); обратно, полная схема проективна, если на ней есть обильный обратимый пучок. Имеются и другие критерии проективности.

Обобщением понятия проективной схемы служит проективный морфизм. Морфизм схем ${\displaystyle {{\ce {f: X -> Y}}}}$ называется проективным (а ${\displaystyle X}$ – схемой, проективной над ${\displaystyle Y}$), если ${\displaystyle X}$ является замкнутой подсхемой проективного расслоения ${\displaystyle P_{Y}({\mathcal {E}})}$, где ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ – локально свободный ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-модуль. Композиция проективных морфизмов проективна. Проективность морфизма сохраняется и при замене базы; в частности, слои проективного морфизма являются проективными схемами (но не обратно). Если схема ${\displaystyle X}$ проективна, а ${\displaystyle {{\ce {X -> Z}}}}$ – конечный сюръективный морфизм, то и ${\displaystyle Z}$ проективна.

Любая проективная схема (над ${\displaystyle Y}$) может быть получена при помощи конструкции проективного спектра. Ограничиваясь случаем аффинной базы, ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} R}$: пусть ${\displaystyle A=\bigoplus _{i\geqslant 0}A_{i}}$ – градуированная ${\displaystyle R}$-алгебра, причём ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle A_{1}}$ имеет конечный тип и порождает алгебру ${\displaystyle A}$, и пусть ${\displaystyle \operatorname {Proj} (A)}$ – множество однородных простых идеалов ${\displaystyle p\subset A}$, не содержащих ${\displaystyle A_{1}}$. Снабжённое естественной топологией и структурным пучком множество

${\displaystyle \operatorname {Proj} (A)}$ является проективной ${\displaystyle Y}$-схемой; более того, любая проективная ${\displaystyle Y}$-схема имеет такой вид.